支持向量機（SVM）是一種用于分類和回歸分析的監(jiān)督學習模型。SVM通過找到一個超平面來將數(shù)據(jù)點分開，從而實現(xiàn)分類。

1. 理解基本概念和理論：

• 超平面（Hyperplane）：在高維空間中，將數(shù)據(jù)分成不同類別的決策邊界。
• 支持向量（Support Vectors）：離超平面最近的數(shù)據(jù)點，決定了超平面的位置和方向。
• 間隔（Margin）：支持向量到超平面的距離，SVM最大化這個間隔。

2. 兩種向量機

2.1 線性支持向量機（Linear SVM）

線性SVM用于線性可分的數(shù)據(jù)集。它通過找到一個決策邊界（超平面），將數(shù)據(jù)點分為不同的類別。目標是找到最大化兩類數(shù)據(jù)點之間間隔的超平面。

2.1.1. 問題描述

給定一個訓練數(shù)據(jù)集 (x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)，其中 xi? 是 d維特征向量，yi?∈{?1,1} 是標簽，線性SVM的目標是找到一個超平面 w?x+b=0 將數(shù)據(jù)點分開。

2.1.2. 超平面方程

超平面可以表示為：

其中，w是法向量，b 是偏置項。

2.1.3. 最大化間隔

為了最大化支持向量到超平面的間隔，我們需要優(yōu)化以下目標函數(shù)：

其中，∥w∥2是 w 的二范數(shù)平方。這個目標函數(shù)中的 1/2 是為了在后續(xù)計算中方便取導數(shù)。

2.1.4. 約束條件

為了確保數(shù)據(jù)點被正確分類，并且支持向量到超平面的距離為1，添加以下約束條件：

示意圖：

Category A: o
Category B: xo   o   oo   oo
-----------(Hyperplane)xx   xx       xx   x   x   x

2.2 非線性支持向量機（Non-linear SVM）

非線性支持向量機旨在處理數(shù)據(jù)在原始特征空間中不可線性分離的情況。通過使用核函數(shù)（Kernel Function），非線性SVM將數(shù)據(jù)映射到高維空間，在高維空間中找到一個線性超平面來實現(xiàn)分類。

2.2.1. 問題描述

給定一個訓練數(shù)據(jù)集 (x1?,y1?),(x2?,y2?),…,(xn?,yn?) ，其中 xi 是 d 維特征向量，yi?∈{?1,1} 是標簽，非線性SVM的目標是找到一個高維空間中的超平面將數(shù)據(jù)點分開。

2.2.2. 核函數(shù)（Kernel Function）

核函數(shù) K(xi?,xj?) 用于將數(shù)據(jù)從原始特征空間映射到高維空間：

其中，? 是隱式的映射函數(shù)，K(xi?,xj?) 是兩個向量在高維空間中的內(nèi)積。

常見的核函數(shù)包括：

• 線性核（Linear Kernel）:
• 多項式核（Polynomial Kernel）:
• 高斯徑向基函數(shù)核（RBF Kernel）: 對于非線性SVM，目標函數(shù)和約束條件與線性SVM相同，只是在高維空間中進行計算。

示意圖（低維空間中的數(shù)據(jù)點，不可線性分離）：

Category A: o
Category B: xo        xo    xox    ox        o

3. 應用場景中的具體優(yōu)勢：

圖像分類：在高維特征空間中，SVM可以有效地找到分離不同類別圖像的超平面，尤其在邊界不明顯或重疊的情況下表現(xiàn)良好。
文本分類：SVM可以處理高維稀疏特征（如詞袋模型或TF-IDF），并能有效地處理大規(guī)模文本數(shù)據(jù)，且不易過擬合。
生物信息學：在基因表達數(shù)據(jù)等高維度生物數(shù)據(jù)中，SVM通過選擇合適的核函數(shù)，可以高效地分離不同類別的生物樣本。
金融領域：在股票預測和信用評分中，SVM能夠處理復雜的非線性關系，并在高維金融數(shù)據(jù)中找到重要的決策邊界。

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