擬凸（quasi-convex）函數(shù)很早就聽說過，但是標(biāo)準(zhǔn)定義一直不太了解，現(xiàn)在總結(jié)一下。

一個定義在凸集上的實數(shù)函數(shù) $f$ 是擬凸函數(shù)：若對于其定義域內(nèi)的任意兩個點 $x$ 和 $y$，以及任意常數(shù) $\lambda \in [0,1]$，有
f(λx+(1?λ)y)≤max?{f(x),f(y)}f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \max\{f(x), f(y)\} f(λx+(1?λ)y)≤max{f(x),f(y)}

幾何意義是函數(shù)任意兩點連線上的點，在該函數(shù)上的值小于這兩點對應(yīng)函數(shù)值的最大值。

上圖就是一個擬凸函數(shù)。擬凹函數(shù)的定義為：
f(λx+(1?λ)y)≥min?{f(x),f(y)}f(\lambda x+(1-\lambda)y)\geq \min\{f(x), f(y)\} f(λx+(1?λ)y)≥min{f(x),f(y)}

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為一個擬凹函數(shù)，如下圖所示：

當(dāng)函數(shù) $f$ 為單變量函數(shù)時，單峰函數(shù)（只有一個局部極小值或局部極大值的函數(shù)）要么是擬凸函數(shù)，要么是擬凹函數(shù)，而多變量函數(shù)時則不一定。

參考資料¹：