多元函數(shù)微分學

設$D$是平面上的一個點集，若對每個點$P(x,y)\in D$，變量$z$按照某一對應法則$f$有一個確定的值與之對應，則稱$z$為$x,y$的二元函數(shù)，記為$z=f(x,y)$。其中點集$D$稱為該函數(shù)的定義域，$x,y$稱為自變量，$z$稱為因變量，函數(shù)$f(x,y)$的全體所構成的集合稱為函數(shù)$f$的值域，記為$f(D)$。通常情況下，二元函數(shù)在幾何上表示一張空間曲面。

多元函數(shù)的極限

設函數(shù)$f(x,y)$在區(qū)域$D$上有定義，點$P_0(x_0,y_0)\in D$或為$D$的邊界點，如果$?\epsilon >0$，存在$\delta >0$，當$P(x,y)\in D$，且$0<\sqrt{(x?x_0{)}^2+(y?y_0{)}^2}<\delta$時，都有$|f(x)?A|<\epsilon$成立，則稱常數(shù)$A$為函數(shù)$f(x,y)$當$(x,y)\to (x_0,y_0)$時的極限，記為$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A$或$\underset{x\to x_{0}y\to y_0}{\lim }f(x,y)=A$或$\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)=A$。一元函數(shù)的以下性質對多元函數(shù)仍然適用：

• 局部有界性
• 保號性
• 有理運算
• 極限與無窮小的關系
• 夾逼原理

多元函數(shù)的連續(xù)性

設函數(shù)$f(x,y)$在區(qū)域$D$上有定義，點$P_0(x_0,y_0)\in D$，如果$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0)$成立，則稱函數(shù)$f(x,y)$在點$P_0(x_0,y_0)$連續(xù)，如果$f(x,y)$在區(qū)域$D$上的每個點$(x,y)$處都連續(xù)，則稱函數(shù)$f(x,y)$在區(qū)域$D$上連續(xù)。

• 性質一：多元函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍為連續(xù)函數(shù)。
• 性質二：多元連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)。
• 性質三：多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內連續(xù)。
• 性質四（最大最小值定理）：有界閉區(qū)域$D$上的連續(xù)函數(shù)在區(qū)域$D$上必能取得最大值和最小值。
• 性質五（介值定理）：有界閉區(qū)域$D$上的連續(xù)函數(shù)在區(qū)域$D$上必能取得介于最大值和最小值之間的任何值。

偏導數(shù)

定義

設$z=f(x,y)$在點$P_0(x_0,y_0)$的某一鄰域內有定義，如果$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)?f(x_0,y_0)}{\Delta x}$存在，則稱這個極限值為函數(shù)$z=f(x,y)$在點$P_0(x_0,y_0)$處對$x$的偏導數(shù)，記為$\frac{?z}{?x}{|}_{x=x_{0}y=x_0}$或$\frac{?f}{?x}{|}_{x=x_{0}y=x_0}$或$f_x^{\prime }(x_0,y_0)$。類似的，如果$\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)?f(x_0,y_0)}{\Delta y}$存在，則稱這個極限值為函數(shù)$z=f(x,y)$在點$P_0(x_0,y_0)$處對$y$的偏導數(shù)，記為$\frac{?z}{?y}{|}_{x=x_{0}y=x_0}$或$\frac{?f}{?y}{|}_{x=x_{0}y=x_0}$或$f_y^{\prime }(x_0,y_0)$。

高階偏導數(shù)

如果$f(x,y)$在區(qū)域$D$內的偏導數(shù)$\frac{?z}{?x},\frac{?z}{?y}$仍然存在偏導數(shù)，則稱之為函數(shù)$f(x,y)$的二階偏導數(shù)，常記為$\frac{?}{?x}\frac{?z}{?x}=\frac{{?}^{2}z}{?x^2}$或$f_{xx}^{\prime \prime }$，$\frac{?}{?y}\frac{?z}{?x}=\frac{{?}^{2}z}{?x?y}$或$f_{xy}^{\prime \prime }$，$\frac{?}{?x}\frac{?z}{?y}=\frac{{?}^{2}z}{?y?x}$或$f_{yx}^{\prime \prime }$，$\frac{?}{?y}\frac{?z}{?y}=\frac{{?}^{2}z}{?y^2}$或$f_{yy}^{\prime \prime }$。常稱$\frac{{?}^{2}z}{?x?y},\frac{{?}^{2}z}{?y?x}$為混合偏導數(shù)。如果函數(shù)$f(x,y)$的兩個二階混合偏導數(shù)$\frac{{?}^{2}z}{?x?y},\frac{{?}^{2}z}{?y?x}$在區(qū)域$D$內連續(xù)，則在該區(qū)域內這兩個混合偏導數(shù)一定相等。

全微分

定義

如果函數(shù)$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$處的全增量$\Delta x=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)?f(x_0,y_0)$可表示為$\delta x=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$，其中$A,B$與$\Delta x,\Delta y$無關，$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$，則稱函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處可微，而$A\Delta x+B\Delta y$稱為函數(shù)$f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處的全微分，記為$dz=A\Delta x+B\Delta y$。如果$f(x,y)$在區(qū)域$D$內的每一點$(x,y)$都可微分，則稱$f(x,y)$在$D$內可微。

全微分存在的必要條件

如果函數(shù)$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$處可微，則該函數(shù)在點$(x,y)$處的偏導數(shù)$\frac{?z}{?x},\frac{?z}{?y}$必定存在，且$dz=\frac{?z}{?x}dx+\frac{?z}{?y}dy$。用定義判斷函數(shù)$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$處的可微性分為以下兩步：

• $f_x^{\prime }(x_0,y_0)$和$f_y^{\prime }(x_0,y_0)$是否存在。
• $\underset{\Delta x\to 0\Delta y\to 0}{\lim }\frac{[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)?f(x_0,y_0)]?[f_x^{\prime }(x_0,y_0)\Delta x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\Delta y]}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}$是否等于零。

全微分存在的充分條件

如果函數(shù)$f(x,y)$的偏導數(shù)$\frac{?z}{?x},\frac{?z}{?y}$在點$(x_0,y_0)$ 處連續(xù)，則函數(shù)$f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$ 處可微。

多元函數(shù)的微分法

復合函數(shù)微分法

• 定義：設函數(shù)$u=u(x,y),v=v(x,y)$在點$(x,y)$處有對$x$及對$y$的偏導數(shù)，函數(shù)$z=f(u,v)$在對應點$(u,v)$處有連續(xù)偏導數(shù)，則復合函數(shù)$z=f[u(x,y),v(x,y)]$在點(x,y)處的兩個偏導數(shù)存在，且有$\frac{?z}{?x}=\frac{?z}{?u}\frac{?u}{?x}+\frac{?z}{?v}\frac{?v}{?x},\frac{?z}{?y}=\frac{?z}{?u}\frac{?u}{?y}+\frac{?z}{?v}\frac{?v}{?y}$。
• 全微分形式的不變性：設函數(shù)$z=f(u,v),u=u(x,y)$，及$v=v(x,y)$都有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則復合函數(shù)$z=f[u(x,y),v(x,y)]$的全微分$dx=\frac{?z}{?x}dx+\frac{?z}{?y}dy+\frac{?z}{?u}du+\frac{?z}{?v}dv$，即：不論把函數(shù)$z$看左子按量$x,y$的函數(shù)，還是看作中間變量$u,v$的函數(shù)，函數(shù)$z$的全微分形式都是一樣的。

隱函數(shù)微分法

• 由方程$F(x,y)=0$確定的隱函數(shù)$y=y(x)$：若函數(shù)$F(x,y)$在點$P(x_0,y_0)$ 的某一鄰域內有連續(xù)偏導數(shù)，且$F(x_0,y_0)=0,F_y^{\prime }(x_0,y_0)\ne 0$，則方程$F(x,y)=0$在點$(x_0,y_0)$的某鄰域可唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)$y=f(x)$，并有$y^{\prime }=\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$。
• 由方程$F(x,y,z)=0$確定的隱函數(shù)$z=z(x,y)$：若函數(shù)$F(x,y,z)$在點$P(x_0,y_0,z_0)$的某一鄰域內有連續(xù)偏導數(shù)，且$F(x_0,y_0,z_0)=0,F_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\ne 0$，則方程$F(x,y,z)=0$在點$(x_0,y_0,z_0)$的某鄰域可唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)$z=f(x,y)$，并有$\frac{?z}{?x}=\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }},\frac{?z}{?y}=\frac{F_y^{\prime }}{F_z^{\prime }}$。

多元函數(shù)的極值與最值

無約束極值

設函數(shù)$z=f(x,y)$在點$P_0(x_0,y_0)$的某鄰域內有定義，若對該鄰域內任意的點$P(x,y)$均有$f(x,y)\le f(x_0,y_0)$，則稱$(x_0,y_0)$為$f(x,y)$的極大值點，稱$f(x_0,y_0)$為$f(x,y)$的極大值。極大值和極小值點統(tǒng)稱為極值點，極大值極小值統(tǒng)稱為極值。

• 極值的i要條件：設函數(shù)$z=f(x,y)$在點$P_0(x_0,y_0)$存在偏導數(shù)，且$(x_0,y_0)$為$f(x,y)$的極值點，則$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=0,f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$。
• 極值的充分條件：設函數(shù)$z=f(x,y)$在點$P_0(x_0,y_0)$的某鄰域內有二階連續(xù)偏導數(shù)，又$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=0,f_y^{\prime }(x_0,y_0)$，記$A=f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0),B=f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0),C=f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)$則有以下結論：
• • 若$AC?B^2>0$，則$(x_0,y_{)})$為$f(x,y)$的極值點。若$A<0$，則$(x_{)},y_{)})$為$f(x,y)$的極大值點；若$A>0$，則$(x_{)},y_{)})$為$f(x,y)$的極小值點。
• • 若$AC?B^2<0$，則$(x_0,y_{)})$不為$f(x,y)$的極值點。
• • 若$AC?B^2=0$，則$(x_0,y_{)})$可能為$f(x,y)$的極值點，也可能不為$f(x,y)$的極值點（此時一般用定義判斷）。

求具有二階連續(xù)偏導數(shù)的二元函數(shù)$z=f(x,y)$極值的一般步驟為：

• 求出$f(x,y)$的駐點$P_1...P_k$。
• 利用極值的充分條件判定駐點$P_i$是否是駐點。

條件極值及拉格朗日乘數(shù)法

求$z=f(x,y)$在條件$\phi (x,y)=0$下的條件極值的一般方法為：

• 構造拉格朗日函數(shù)$F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda p(x,y)$
• 將$F(x,y,\lambda )$分別對$x,y,z$求偏導數(shù)，構造方程組$?\begin{array}{l}{f}_x^{\prime }(x,y)+\lambda {\phi }_x^{\prime }(x,y)=0,\\ f_y^{\prime }(x,y)+\lambda {\phi }_y^{\prime }(x,y)=0,\\ \phi (x,y)=0\end{array}$。

解出$x,y,\lambda$，則其中$(x,y)$就是函數(shù)$f(x,y)$在條件$\phi (x,y)=0$下的可能極值點。

最大值最小值

求連續(xù)函數(shù)$f(x,y)$在有界閉區(qū)域$D$上的最大值：

• 求$f(x,y)$在點$D$內部可能的極值點。
• 求$f(x,y)$在點$D$的邊界上的最大最小值。

二重積分

概念

• 定義：設函數(shù)$z=f(x,y)$在有界區(qū)域$D$上有定義，將區(qū)域$D$任意分成$n$個小區(qū)域$\Delta {\sigma }_1,\Delta {\sigma }_2,...,\Delta {\sigma }_n$，其中$\Delta {\sigma }_i$代表第$i$個小區(qū)域，也表示它的面積，在每個$\Delta {\sigma }_i$上任取一點$({\xi }_i,{\eta }_i)$，做乘積$f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$，并求和${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$，記$\lambda$為$n$個小區(qū)域$\Delta {\sigma }_1,\Delta {\sigma }_2,...,\Delta {\sigma }_n$中最大直徑，如果${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$存在，則稱$f(x,y)$在區(qū)域$D$上的二重積分，記為${?}_{D}f(x,y)d\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$。
• 幾何意義：二重積分${?}_{D}f(x,y)d\sigma$是一個數(shù)，當$f(x,y)\ge 0$時，其值等于以區(qū)域$D$為底，以曲面$z=f(x,y)$為曲頂柱體的體積，當$f(x,y)\le 0$時，二重積分的值為負數(shù)，其絕對值等于上述曲頂柱體的體積。

性質

• 不等式性質：若在$D$上$f(x,y)\le g(x,y)$，則${?}_{D}f(x,y)d\sigma \le {?}_{D}g(x,y)d\sigma$；若在$D$上$m\le f(x,y)\le M$，則$m\sigma \le {?}_{D}f(x,y)d\sigma \le M\sigma$（其中$\sigma$為區(qū)域$D$的面積）；$|{?}_{D}f(x,y)d\sigma |\le {?}_D|f(x,y)|d\sigma$。
• 中值定理：設函數(shù)$f(x,y)$在閉區(qū)域$D$上連續(xù)，$\sigma$為區(qū)域$D$的面積，則在$D$上至少存在一點$(\xi ,\eta )$，使得${?}_{D}f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta )\sigma$。

計算

利用直角坐標計算

• 先$y$后$x$，積分區(qū)域$D$可以用$a\le x\le b$，${\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)$表示：${?}_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy$。
• 先$x$后$y$，積分區(qū)域$D$可以用$a\le y\le b$，${\phi }_1(y)\le x\le {\phi }_2(y)$表示：${?}_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dy{\int }_{{\phi }_1(y)}^{{\phi }_2(y)}f(x,y)dx$。

利用極坐標計算

適合使用極坐標計算的二重積分的特征：

• 適合使用極坐標計算的被積函數(shù)：$f(\sqrt{x^2+y^2})f(\frac{}{y}x),f(\frac{x}{y})$。
• 適合用極坐標的積分域如：$x^2+y^2\le R^2,r^2\le x^2+y^2\le R^2，x^2+y^2\le 2ax,x^2+y^2\le 2by$。

利用函數(shù)的奇偶性計算

• 若積分區(qū)域$D$關于$y$軸對稱，$f(x,y)$關于$x$軸有奇偶性，則${?}_{D}f(x,y)d\sigma =\{\begin{array}{l}2{?}_{D_x\ge 0}f(x,y)d\sigma ,f(x,y)關于x為偶函數(shù)\\ 0,f(x,y)關于x為奇函數(shù)\end{array}$。
• 若積分區(qū)域$D$關于$x$軸對稱，$f(x,y)$關于$y$軸有奇偶性，則${?}_{D}f(x,y)d\sigma =\{\begin{array}{l}2{?}_{D_y\ge 0}f(x,y)d\sigma ,f(x,y)關于y為偶函數(shù)\\ 0,f(x,y)關于y為奇函數(shù)\end{array}$。

利用變量的輪換對稱性計算

如果積分區(qū)域$D$具有輪換對稱性，也就是關于直線$y=x$對稱，即$D$的表達式中將$x$換作$y$，$y$換作$x$表達式不變，則${?}_{D}f(x,y)d\sigma ={?}_{D}f(y,x)d\sigma$。