1、算法簡(jiǎn)介

??RANSAC 是在給定模型和距離閾值$T$的情況下，通過(guò)尋找最小代價(jià)$C$來(lái)確定內(nèi)點(diǎn)數(shù)據(jù)并擬合模型。如式（1）所示的代價(jià)函數(shù)，當(dāng)點(diǎn)到模型的距離$e$小于閾值$T$時(shí)，該點(diǎn)被判定為內(nèi)點(diǎn)且權(quán)重為0；否則為外點(diǎn)。由于所有內(nèi)點(diǎn)的權(quán)重為0，所以RANSAC選取的最優(yōu)模型是內(nèi)點(diǎn)最多且權(quán)重和最小的模型。如果用于區(qū)分異常值的閾值$T$過(guò)大，則會(huì)造成RANSAC 擬合誤差增大。
$$\rho (e,T)=\{\begin{array}{l}1,T\le e\\ 0,T>e\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

??MSAC 是RANSAC 的一種改進(jìn)方法，目的是降低算法對(duì)于距離閾值$T$選取的依賴(lài)。修改后的代價(jià)函數(shù)如式（1）所示，當(dāng)點(diǎn)到模型的距離$e$ 小于閾值$T$時(shí)，該點(diǎn)被判定為內(nèi)點(diǎn)且權(quán)重為$e$ ；否則為外點(diǎn)且權(quán)重為$T$ 。
$$\rho (e,T)=\{\begin{array}{l}T,T\le e\\ e,T>e\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

??由于使用更加精確的距離表達(dá)代價(jià)函數(shù)，因此，MSAC 不僅可以得到更好的模型，還可以降低閾值的敏感度以及提高收斂速度。利用MSAC 進(jìn)行局部基準(zhǔn)面擬合的具體步驟如下：

1. 從數(shù)據(jù)集中不重復(fù)地隨機(jī)選擇用于平面模型擬合的最小數(shù)據(jù)集$Q$。
2. 利用最小二乘法和數(shù)據(jù)集$Q$擬合平面模型$S$ ，得到模型參數(shù)。
3. 計(jì)算所有點(diǎn)到平面模型$S$的距離，在允許誤差閾值范圍內(nèi)的點(diǎn)標(biāo)記為“內(nèi)點(diǎn)”，并計(jì)算該平面模型的代價(jià)$C_i$ 。
4. 比較當(dāng)前模型的代價(jià)$C_i$ 與之前最好模型的代價(jià)$C_b$的大小，記錄較小者作為新的最好模型的代價(jià)，并記錄對(duì)應(yīng)的“內(nèi)點(diǎn)”和模型參數(shù)。
5. 重復(fù)步驟①-④，直到迭代結(jié)束，并得到“內(nèi)點(diǎn)”數(shù)據(jù)。
6. 利用“內(nèi)點(diǎn)”數(shù)據(jù)，通過(guò)最小二乘法擬合平面模型，得到最佳的平面模型參數(shù)。

2、參考文獻(xiàn)

[1] 馬新江;岳東杰;沈月千;劉如飛;王旻燁;俞家勇;張春陽(yáng). 基于車(chē)載激光點(diǎn)云的路面坑槽檢測(cè)方法 [J/OL]. 中國(guó)激光, 1-25[2023-11-25] http://kns.cnki.net/kcms/detail/31.1339.TN.20230817.1814.022.html.

3、實(shí)現(xiàn)效果

1、標(biāo)準(zhǔn)模擬數(shù)據(jù)

2、模擬數(shù)據(jù)的平面參數(shù)

3、添加高斯噪聲點(diǎn)

4、高斯噪聲點(diǎn)添加結(jié)果

5、MSAC擬合結(jié)果

平面模型系數(shù)coeff(a,b,c,d): 0.00987843  -0.714149        0.699925        17.943

偏差有點(diǎn)大？？？神奇！！！

4、相關(guān)代碼

• matlab 點(diǎn)云最小二乘擬合平面(PCA法)
• matlab 點(diǎn)云最小二乘擬合平面(PCA法詳細(xì)過(guò)程版)
• matlab 最小二乘擬合平面并與XOY平面對(duì)齊
• Open3D 最小二乘擬合平面（PCA法 python詳細(xì)過(guò)程版）
• Open3D 進(jìn)階（12）PCA擬合平面