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前言

本文對(duì)信號(hào)補(bǔ)零前與補(bǔ)零后分別做 FFT，對(duì)頻譜進(jìn)行分析。

先拋出結(jié)論：
補(bǔ) 1 次零相當(dāng)于在原始頻譜圖中每?jī)蓚€(gè)頻率之間插入1個(gè)頻率值，補(bǔ) 2 次零相當(dāng)于在原始頻譜圖中每?jī)蓚€(gè)頻率之間插入 2 個(gè)頻率值，并且原始頻率值的位置及其幅值保持不變。因此， 補(bǔ)零會(huì)使頻譜圖中的頻率點(diǎn)的數(shù)量增加，從而使得頻譜圖更加的光滑連續(xù)，但是補(bǔ)零不能對(duì)頻譜圖中的頻率分辨率、頻率值以及幅值有所改善。

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一、 什么是補(bǔ)零

FFT 運(yùn)算點(diǎn)數(shù)（$M$） > 采樣點(diǎn)數(shù)（$N$）時(shí)，$fft(xn,M)$ 函數(shù)對(duì)信號(hào) $x_n$ 進(jìn)行尾補(bǔ)零操作即在該信號(hào)尾部添加多個(gè)值為 0 的數(shù)據(jù)點(diǎn)以使信號(hào)總點(diǎn)數(shù) $N$ 增至 FFT 運(yùn)算所需點(diǎn)數(shù) $M$。

二、案例

目前有一個(gè)信號(hào) ，這個(gè)信號(hào)中僅包含兩個(gè)正（余）弦波，一個(gè)是 $1MHz$，一個(gè)是 $1.5MHz$，即 $x=cos(2\pi ?1000000t)+cos(2\pi ?1050000t)$。設(shè)定采樣頻率為 $F_s=100MHz$，如果采 1000 個(gè)點(diǎn)，那么時(shí)域信號(hào)的時(shí)長就有 $10\mu s$。（采樣率*采樣時(shí)間=采樣點(diǎn)數(shù)）

三、補(bǔ)零前仿真及分析

直接對(duì)這 1000 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)做 FFT

1、補(bǔ)零前 MATLAB 源碼

%% [預(yù)處理]
clc;   % 清除命令窗口
clear; % 清除工作空間的變量和函數(shù)
clf;   % 清除當(dāng)前圖形%% [采樣參數(shù)]
fs = 100e6;         % 采樣頻率 (Hz)  
ts = 1/fs;          % 采樣周期 (s)
N  = 1000;          % 采樣點(diǎn)數(shù) (個(gè))
n  = 0:N-1;         % 采樣點(diǎn)索引
t  = n*ts;          % 采樣時(shí)間軸%% [未補(bǔ)零 被采信號(hào) && 繪制時(shí)域波形]
fa = 1e6;           % 信號(hào) a 的頻率
fb = 1.05e6;        % 信號(hào) b 的頻率
xn = cos(2*pi*fa*t) + cos(2*pi*fb*t);   % 被采信號(hào) = 信號(hào)a + 信號(hào)bfigure(1);
plot(t, xn);
axis([0 10e-6 -inf inf]);  % x 軸范圍設(shè)置成[0，10us]，y 軸范圍最小值和最大值都為無窮
title('xn 時(shí)域圖');
ylabel('幅度/V');
xlabel('時(shí)間/s');%% [未補(bǔ)零 被采信號(hào) && 繪制頻譜圖]
M = 1000;                   % FFT 運(yùn)算點(diǎn)數(shù)
X = fft(xn, M);             % FFT 輸出值
X = [X(1)/N,X(2:M)*2/N];    % 幅度軸，對(duì)FFT輸出值進(jìn)行歸一化處理，得到幅度軸上的值。
k = 0:M-1;                  % 頻率點(diǎn)索引
f = fs*k/(M-1);             % 頻率軸figure(2);
plot(f, abs(X));
axis([0.5e6 1.5e6 0 1.5]);  % x 軸范圍設(shè)置成[0.5e6，1.5e6]，y 軸范圍設(shè)置成[0，1.5]
title('xn 頻譜圖');
ylabel('X(f)');
xlabel('頻率/Hz');

2、仿真及結(jié)果分析

①、$x_n$ 時(shí)域圖

②、$x_n$ 頻譜圖

如上圖所示，直接對(duì)這 1000 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)做快速傅里葉變換，將得到頻譜，只有一個(gè)譜峰，在 $1MHz$ 的地方，由于頻譜點(diǎn)稀疏，在 $1MHz$ 根本無法將 $1MHz$ 和 $1.05MHz$ 的兩個(gè)頻率分開，這是因?yàn)轭l率分辨率不夠，采樣率 $100MHz$，FFT 點(diǎn)數(shù) 1000 個(gè)點(diǎn)，頻率分辨率 = 采樣率 /FFT 點(diǎn)數(shù) = $100KHz$，所以無法區(qū)分 $50KHz$。

四、補(bǔ)零后仿真及分析

對(duì)數(shù)據(jù)補(bǔ)零，增加 FFT 點(diǎn)數(shù)，比如補(bǔ) 6000 個(gè)零，做 7000 個(gè)點(diǎn)的 FFT。

1、補(bǔ)6000個(gè)零且1000采樣點(diǎn)

①、 MATLAB 源碼

%% [預(yù)處理]
clc;   % 清除命令窗口
clear; % 清除工作空間的變量和函數(shù)
clf;   % 清除當(dāng)前圖形%% [采樣參數(shù)]
fs = 100e6;         % 采樣頻率 (Hz)  
ts = 1/fs;          % 采樣周期 (s)
N  = 1000;          % 采樣點(diǎn)數(shù) (個(gè))
n  = 0:N-1;         % 采樣點(diǎn)索引
t  = n*ts;          % 采樣時(shí)間軸%% [被采信號(hào) && 繪制時(shí)域波形] 
fa = 1e6;           % 信號(hào) a 的頻率
fb = 1.05e6;        % 信號(hào) b 的頻率
xn = cos(2*pi*fa*t) + cos(2*pi*fb*t);   % 被采信號(hào) = 信號(hào)a + 信號(hào)bfigure(1);
plot(t, xn);
axis([0 10e-6 -inf inf]);  % x 軸范圍設(shè)置成[0，10us]，y 軸范圍最小值和最大值都為無窮
title('xn 時(shí)域圖');
ylabel('幅度/V');
xlabel('時(shí)間/s');%% [尾補(bǔ)零 被采信號(hào) && 繪制時(shí)域波形]
xnwei=[xn zeros(1,6000)];	% 補(bǔ)6000個(gè)零
M = length(xnwei);          % FFT 運(yùn)算點(diǎn)數(shù)
X = fft(xnwei, M);          % FFT 輸出值
X = [X(1)/N,X(2:M)*2/N];    % 幅度軸，對(duì)FFT輸出值進(jìn)行歸一化處理，得到幅度軸上的值。
k = 0:M-1;                  % 頻率點(diǎn)索引
f = fs*k/(M-1);             % 頻率軸figure(2);
plot(f, abs(X));
axis([0.5e6 1.5e6 0 1.5]);  % x 軸范圍設(shè)置成[0.5e6，1.5e6]，y 軸范圍設(shè)置成[0，1.5]
title('補(bǔ)零后共7000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)做FFT的頻譜');
ylabel('X(f)');
xlabel('頻率/Hz');

②、仿真及結(jié)果分析

可以看到信號(hào)頻譜變得平滑了，但是仍然無法區(qū)分 $1MHz$ 和 $1.05MHz$

這里就要引出一個(gè)波形分辨率的概念，雖然補(bǔ)零了，提高了頻譜分辨率，但是無法提高波形分辨率

2、波形分辨率

發(fā)現(xiàn)頻率成分無法被區(qū)分開，第一反應(yīng)就是：頻率分辨率不夠，那么，如何提高頻率分辨率呢？首先要清楚，這里存在兩種類型的頻率分辨率。

一種叫波形分辨率，其由原始數(shù)據(jù)的時(shí)間長度決定：
$$\Delta R_w=\frac{1}{T}$$
另一種可以稱之為視覺分辨率或FFT分辨率，其由采樣頻率和參與 FFT 的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)決定：
$$\Delta R_{fft}=\frac{F_s}{N_{fft}}$$
之所以要區(qū)分，就是因?yàn)楹竺嬉M(jìn)行 “補(bǔ)零” 操作。如果不補(bǔ)零，直接對(duì)原始數(shù)據(jù)做 FFT，那么這兩種分辨率是相等的。

例如上面，有：
$$\Delta R_w=\frac{1}{10\mu s}=\Delta R_{fft}=\frac{100MHz}{1000}=100KHz$$

所以要想提高波形分辨率，必須提高信號(hào)數(shù)據(jù)本身的長度

3、補(bǔ)6000個(gè)零且7000采樣點(diǎn)

采樣 7000 個(gè)信號(hào)數(shù)據(jù)做 FFT，還是補(bǔ) 6000 個(gè)零 ，做 7000 個(gè)點(diǎn)的 FFT

①、 MATLAB 源碼

%% [預(yù)處理]
clc;   % 清除命令窗口
clear; % 清除工作空間的變量和函數(shù)
clf;   % 清除當(dāng)前圖形%% [采樣參數(shù)]
fs = 100e6;         % 采樣頻率 (Hz)  
ts = 1/fs;          % 采樣周期 (s)
N  = 7000;          % 采樣點(diǎn)數(shù) (個(gè))
n  = 0:N-1;         % 采樣點(diǎn)索引
t  = n*ts;          % 采樣時(shí)間軸%% [被采信號(hào) && 繪制時(shí)域波形] 
fa = 1e6;           % 信號(hào) a 的頻率
fb = 1.05e6;        % 信號(hào) b 的頻率
xn = cos(2*pi*fa*t) + cos(2*pi*fb*t);   % 被采信號(hào) = 信號(hào)a + 信號(hào)bfigure(1);
plot(t, xn);
axis([0 10e-6 -inf inf]);  % x 軸范圍設(shè)置成[0，10us]，y 軸范圍最小值和最大值都為無窮
title('xn 時(shí)域圖');
ylabel('幅度/V');
xlabel('時(shí)間/s');%% [尾補(bǔ)零 被采信號(hào) && 繪制時(shí)域波形]
xnwei=[xn zeros(1,6000)];	% 補(bǔ)6000個(gè)零
M = length(xnwei);          % FFT 運(yùn)算點(diǎn)數(shù)
X = fft(xnwei, M);          % FFT 輸出值
X = [X(1)/N,X(2:M)*2/N];    % 幅度軸，對(duì)FFT輸出值進(jìn)行歸一化處理，得到幅度軸上的值。
k = 0:M-1;                  % 頻率點(diǎn)索引
f = fs*k/(M-1);             % 頻率軸figure(2);
plot(f, abs(X));
axis([0.5e6 1.5e6 0 1.5]);  % x 軸范圍設(shè)置成[0.5e6，1.5e6]，y 軸范圍設(shè)置成[0，1.5]
title('采樣點(diǎn)7000且補(bǔ)零后共7000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)做FFT的頻譜');
ylabel('X(f)');
xlabel('頻率/Hz');

②、仿真及結(jié)果分析

因?yàn)榇藭r(shí)的波形分辨率為：$\Delta R_w=\frac{1}{70\mu s}\approx 14KHz$，小于 $1MHz$ 和 $1.05MHz$ 這兩個(gè)頻率成分之間的舉例 $50KHz$，所以可以看出有兩個(gè)明顯的峰值。

但是會(huì)發(fā)現(xiàn) $1MHz$ 對(duì)應(yīng)的幅值為 1，與原始信號(hào)中該頻率成分的幅值一致，但是 $1.05MHz$ 對(duì)應(yīng)的幅值明顯低于 1，但是其周邊的點(diǎn)上確有不小的幅值，這就是所謂的頻譜泄露，因?yàn)閿?shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)影響，使得在 $1MHz$ 處有譜線存在，但在 $1.05MHz$ 處沒有譜線存在，使測(cè)量結(jié)果偏離實(shí)際值，同時(shí)在實(shí)際頻率點(diǎn)的能量分散到兩側(cè)的其他頻率點(diǎn)上，并出現(xiàn)一些幅值較小的假譜。

這是因?yàn)樵?$1.05MHz$ 那個(gè)地方剛好有個(gè)頻點(diǎn)，也就是出現(xiàn)了所謂的頻譜泄漏，還是數(shù)據(jù)長度不夠，但這時(shí)是可以通過補(bǔ)零來達(dá)到目的。補(bǔ)零 1000 個(gè)點(diǎn)，做 8000 點(diǎn)的FFT。

4、補(bǔ)7000個(gè)零且7000采樣點(diǎn)

采樣 7000 個(gè)信號(hào)數(shù)據(jù)做 FFT，補(bǔ) 7000 個(gè)零 ,做 8000 點(diǎn)的 FFT

①、 MATLAB 源碼

%% [預(yù)處理]
clc;   % 清除命令窗口
clear; % 清除工作空間的變量和函數(shù)
clf;   % 清除當(dāng)前圖形%% [采樣參數(shù)]
fs = 100e6;         % 采樣頻率 (Hz)  
ts = 1/fs;          % 采樣周期 (s)
N  = 7000;          % 采樣點(diǎn)數(shù) (個(gè))
n  = 0:N-1;         % 采樣點(diǎn)索引
t  = n*ts;          % 采樣時(shí)間軸%% [被采信號(hào) && 繪制時(shí)域波形] 
fa = 1e6;           % 信號(hào) a 的頻率
fb = 1.05e6;        % 信號(hào) b 的頻率
xn = cos(2*pi*fa*t) + cos(2*pi*fb*t);   % 被采信號(hào) = 信號(hào)a + 信號(hào)bfigure(1);
plot(t, xn);
axis([0 10e-6 -inf inf]);  % x 軸范圍設(shè)置成[0，10us]，y 軸范圍最小值和最大值都為無窮
title('xn 時(shí)域圖');
ylabel('幅度/V');
xlabel('時(shí)間/s');%% [尾補(bǔ)零 被采信號(hào) && 繪制時(shí)域波形]
xnwei=[xn zeros(1,7000)];   % 補(bǔ)7000個(gè)零
M = length(xnwei);          % FFT 運(yùn)算點(diǎn)數(shù)
X = fft(xnwei, M);          % FFT 輸出值
X = [X(1)/N,X(2:M)*2/N];    % 幅度軸，對(duì)FFT輸出值進(jìn)行歸一化處理，得到幅度軸上的值。
k = 0:M-1;                  % 頻率點(diǎn)索引
f = fs*k/(M-1);             % 頻率軸figure(2);
plot(f, abs(X));
axis([0.5e6 1.5e6 0 1.5]);  % x 軸范圍設(shè)置成[0.5e6，1.5e6]，y 軸范圍設(shè)置成[0，1.5]
title('采樣點(diǎn)7000且補(bǔ)零后共8000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)做FFT的頻譜');
ylabel('X(f)');
xlabel('頻率/Hz');

②、仿真及結(jié)果分析

FFT 分辨率為 $F_s/N=100MHz/8000=12.5KHz$，是這兩個(gè)頻率的公約數(shù)，$1MHz=80?12.5KHz$，$1.05MHz=84?12.5KHz$，所以譜線同時(shí)經(jīng)過 $1MHz$ 和 $1.05MHz$ 這兩個(gè)點(diǎn)。

從上圖也可以看到效果也比較理想，將 $1MHz$ 和 $1.05MHz$ 的兩個(gè)信號(hào)頻率分開。

五、補(bǔ)零的好處

• 使數(shù)據(jù) N 為 2 的整次冪，便于使用 FFT
• 補(bǔ)零后，其實(shí)是對(duì) DFT 結(jié)果做了插值，克服“柵欄"效應(yīng)，使譜外觀平滑化。我把“柵欄"效應(yīng)形象理解為，就像站在柵欄旁邊透過柵欄看外面風(fēng)景，柵欄會(huì)擋住比較多風(fēng)景，此時(shí)就可能漏掉較大頻域分量，但是補(bǔ)零以后，相當(dāng)于你站遠(yuǎn)了，風(fēng)景就看的越來越清楚了。
• 由于對(duì)時(shí)域數(shù)據(jù)的截短必然造成頻譜泄露，因此在頻譜中可能出現(xiàn)難以辨認(rèn)的譜峰，補(bǔ)零在一定程度上能消除這種現(xiàn)象。

對(duì)信號(hào)進(jìn)行頭補(bǔ)零或尾補(bǔ)零再得到的幅頻響應(yīng)相等，相頻響應(yīng)不同

補(bǔ)零會(huì)使頻譜圖中的頻率點(diǎn)的數(shù)量增加，從而使得頻譜圖更加的光滑連續(xù)，但是補(bǔ)零不能對(duì)頻譜圖中的頻率分辨率、頻率值以及幅值有所改善。

• 補(bǔ)零（Zero-padding）是在FFT計(jì)算中向輸入信號(hào)序列的末尾添加零值，從而增加信號(hào)的長度。這樣做的主要目的是在頻域中插入更多的零頻率樣本，以獲得更好的頻譜分析圖。
• 補(bǔ)零可以在一定程度上改善頻譜圖的可視化效果，使頻譜圖在頻率軸上呈現(xiàn)更平滑的外觀。這是因?yàn)檠a(bǔ)零增加了離散傅里葉變換（DFT）點(diǎn)數(shù)，從而在頻率軸上產(chǎn)生更多的插值點(diǎn)。然而，這并不意味著補(bǔ)零改善了頻率分辨率或精確性。
• 頻率分辨率由采樣率和FFT長度決定，而補(bǔ)零并不改變采樣率。補(bǔ)零只是對(duì)現(xiàn)有的采樣點(diǎn)進(jìn)行插值，不會(huì)增加頻率分辨率。實(shí)際上，補(bǔ)零只是在現(xiàn)有的頻率分辨率上插入了更多的點(diǎn)，而不是提高了分辨率本身。
• 頻率值和幅值也不會(huì)因?yàn)檠a(bǔ)零而改變。補(bǔ)零只是在現(xiàn)有的頻率軸上插入了更多的點(diǎn)，對(duì)原有的頻率值和幅值進(jìn)行了插值。這些插值點(diǎn)的值是通過對(duì)原始采樣點(diǎn)進(jìn)行插值計(jì)算得到的，而不是通過補(bǔ)零本身引入的信息。
• 如果希望改善頻率分辨率或精確性，需要增加采樣率或使用更長的FFT長度。

六、資源自取

信號(hào)補(bǔ)零對(duì)信號(hào)頻譜的影響

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我的qq：2442391036，歡迎交流！

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