這是關(guān)于3Blue1Brown "線性代數(shù)的本質(zhì)"的學(xué)習(xí)筆記。

線性變換

如果一個變換具有以下兩個性質(zhì)，我們就稱它是線性的：

• 一是直線在變換后仍然保持為直線
• 二是原點(diǎn)必須保持固定

總的來說，線性變換是“保持網(wǎng)格線平行且等距分布”的變換

如何用數(shù)值描述線性變換

只需記錄兩個基向量$\vec{i}$和$\vec{j}$變換后的位置?？梢杂?span id="vxwlu0yf4" class="katex--inline">$\vec{i}$和$\vec{j}$變換后的位置，推斷任意向量出變換后的位置。

圖1 線性變換

圖2 線性變換舉例

如圖2所示，假設(shè)$\vec{i}$和$\vec{j}$變換后分別為$[1,?2{]}^T$和$[3,0{]}^T$，則任意向量$[x,y{]}^T$的變換結(jié)果如圖2所示。

即：一個二維線性變換僅由四個數(shù)字完全確定，變換后$\vec{i}$的兩個坐標(biāo)和變換后$\vec{j}$的兩個坐標(biāo)。把這兩組坐標(biāo)寫入一個矩陣中，如圖3所示。

圖3 線性變換矩陣

這個矩陣的第一列就是變換后$\vec{i}$的兩個坐標(biāo)，第二列就是變換后$\vec{j}$的兩個坐標(biāo)。

圖4 線性變換矩陣一般形式

更一般的情況，如圖4所示。
把第一列$[a,c{]}^T$看作是變換后的第一個基向量，把第二列$[b,d{]}^T$看作是變換后的第二個基向量，則任意向量$[x,y{]}^T$的變換過程和結(jié)果如圖4所示。

矩陣的列就是變換后的基向量，矩陣向量乘法就可以看作它們的線性組合。

特殊的線性變換

坐標(biāo)系$xy$的基向量分別為$\vec{i}$（綠色箭頭）、$\vec{j}$（紅色箭頭）。我們將這個坐標(biāo)系$xy$逆時針旋轉(zhuǎn)90°，這樣，$\vec{i}$落在了坐標(biāo)$（0，1）$上，$\vec{j}$落在了坐標(biāo)$（?1，0）$上，如圖5所示。

圖5 整個空間逆時針旋轉(zhuǎn)90°

這樣，任意向量$[x,y{]}^T$旋轉(zhuǎn)90°之后的結(jié)果都可以利用這個矩陣計(jì)算出來。

還有一種特殊的線性變換是“剪切”。如圖6所示，變換后$\vec{i}$不變，$\vec{j}$落在了坐標(biāo)$（1，1）$上。

圖6 剪切變換

反過來看

給定一個變換矩陣$$\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 1\end{array}\right]$$
這就相當(dāng)于$\vec{i}$變換后落在（1，2）上，$\vec{j}$變換后落在（3，1）上，空間其他部分隨二者一起移動，以保持網(wǎng)格線平行且等距分布。如圖7所示。

圖7 根據(jù)給定矩陣旋轉(zhuǎn)

如果變換后的$\vec{i}$和$\vec{j}$是線性相關(guān)的，如圖8所示，變換后的$\vec{i}$和$\vec{j}$在一條直線上。

圖8 線性相關(guān)變換 這個線性相關(guān)變換將整個二維空間壓縮到它們所在的直線上，也就是，兩個線性相關(guān)向量張成的空間是一維空間。

總結(jié)

線性變換是操縱空間的一種手段，它保持網(wǎng)格線平行且等距分布，并保持原點(diǎn)不動。

這種變換只需要幾個數(shù)字就能描述清楚，這些數(shù)字就是變換后基向量的坐標(biāo)，以這些坐標(biāo)為列所構(gòu)成的矩陣為我們提供了一種描述線性變換的語言，而矩陣向量乘法是計(jì)算線性變換作用于給定向量的一種途徑，如圖4所示。

這里重要的一點(diǎn)是，每當(dāng)你看到一個矩陣時，你都可以把它解讀為對空間的一種特定變換。