例1：證明，交換群的任何子群都是不變子群。

證：設(shè)(G,o)是交換群，H≤G，

對任意的a∈G，顯然都有aH = {a o h|h∈H} = {h o a|h∈H} = Ha。

所以H⊿G。

【注：規(guī)范的不變子群符號是一個頂角指向左邊的等腰三角形】

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推論：

①循環(huán)群的子群都是不變子群；

②素數(shù)階群的任何子群都是不變子群。

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例2：證明，平凡子群是不變子群。

證：設(shè)(G,o)是一個群，則{e}和G本身是G的平凡子群。

①對?a∈G，

顯然a{e} = {a o e} = {a} = {e o a} = {e}a，

所以{e}是G的不變子群。

②下面證對?a∈G，有aG = G = Ga：

對?x∈G，有x = (a o a^(-1)) o x = a o (a^(-1) o x)∈aG，

即x∈aG，從而退出G?aG，又由aG的定義可知aG?G，所以G = aG，

同理可得Ga = G，

所以G⊿G。

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例3：證明，設(shè)(G,o)是一個群，若N = {n∈G|n o a = a o n，a∈G}，則N⊿G。

【這個不變子群稱為G的中心，記作：C(G)。】

證：①對?a∈G，有e o a = a = a o e，

所以e∈N，即N≠?；

②?n?,n?∈N，對?a∈G，

有n? o a = a o n?，n? o a = a o n?，

所以(n? o n?) o a = n? o (n? o a) = n? o (a o n?) = (n? o a) o n? = (a o n?) o n? = a o (n? o n?)，

所以n?,n?∈N；

③n?^(-1) o a = (n?^(-1) o a) o (n? o n?^(-1)) = n?^(-1) o (a o n?) o n?^(-1) = n?^(-1) o (n? o a) o n?^(-1) = (n?^(-1) o n?) o (a o n?^(-1)) = a o n?^(-1)，

根據(jù)子群的第一判定定理，可得N≤G；

④由N的定義，易得aN = {a o n|n∈N} = {n o a|n∈N} = Na，

所以N⊿G。

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例4：證明：

（1）K?⊿A?；

（2）N = {(1),(123),(132)}⊿S?；

（3）H = {(1),(12)}不是S?的不變子群。

證：（1）①因為K? = {(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}，

對?a∈K?，均有aK? = K?a = K?；

②因為(123)K? = K?(123) = {(123),(134),(243),(142)}，所以對?a∈(123)K?，有aK? = K?a = (123)K?；

③同②，因為(132)K? = K?(132) = {(132),(143),(234),(124)}，所以對?a∈(132)K?，有aK? = K?a = (132)K?，

同理可推出對?a∈A?，都有aK? = K?a，

所以K?⊿A?。

（2）已知N是S?的子群，運(yùn)用（1）中同樣的枚舉法，易得對?a∈S?，有aN = Na，從而N⊿S?。

（3）H = {(1),(12)}≤S?，但對于(123)∈S?，(123)H = {(123),(13)}，而H(123) = {(123),(23)}，即(123)H ≠ H(123)，所以不滿足不變子群的條件，

∴H不是S?的不變子群。

[注：aN = Na并不是說a和N中的每一個元都適合交換律，而僅僅是作為集合它們是相等的。]

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（待續(xù)……）

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