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自然對(duì)數(shù)底e的一些事
走的人多了就成了路
中國(guó)清代數(shù)學(xué)家李善蘭（1811—1882）
凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)
自然對(duì)數(shù)底也是使用習(xí)慣
🍉 李善蘭把function翻譯為函數(shù)，函就是包含，含有變量，自此沿用至今，同時(shí)函數(shù)又以f開(kāi)頭，所以f g h 三個(gè)字母又常用于函數(shù)名，而 a b c d 常代表任意常數(shù)。而e因?yàn)闅W拉指代自然對(duì)數(shù)的底，也就成了今天這個(gè)樣子。
萊布尼茨(Leibniz)研究此領(lǐng)域時(shí)使用字母b
歐拉研究此領(lǐng)域用了字母e，并非歐拉 (Euler. leonhard) 首字母。自此一個(gè)偉大的極限就誕生了。
e = lim ? n → ∞ ( 1 + 1 n ) n \LARGE \begin{aligned} e=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(1+\dfrac{1}{n})^{n} \end{aligned} e=n→∞lim?(1+n1?)n?
如果發(fā)現(xiàn)一處通用的模塊或者功能，我們就為它起個(gè)名字，這就是偉大發(fā)現(xiàn)或者發(fā)明。
高斯
當(dāng)一幢建筑物完成時(shí)，應(yīng)該把腳手架拆除干凈
有時(shí)候就因?yàn)檫@個(gè)習(xí)慣，感覺(jué)就像是天才的傀儡，他們?yōu)樯队羞@樣的天才想法，書(shū)本里也從來(lái)不說(shuō)，甚至連過(guò)程都沒(méi)有。
如下是實(shí)數(shù)也成立的證明
應(yīng)用拉格朗日的夾逼準(zhǔn)則
設(shè) n ? x < n + 1 n\leqslant x \lt {n+1} n?x<n+1 那么
( 1 + 1 x ) n ? ( 1 + 1 x ) x < ( 1 + 1 x ) n + 1 (步驟A) \large (1+\dfrac{1}{x})^n \leqslant (1+\dfrac{1}{x})^x \lt (1+\dfrac{1}{x})^{n+1}\tag{步驟A} (1+x1?)n?(1+x1?)x<(1+x1?)n+1(步驟A)
上式左側(cè)縮小就可以去除等號(hào)，右側(cè)放大也依然成立
( 1 + 1 x ) n ? 用 n + 1 替換 x ( 1 + 1 n + 1 ) n ( 1 + 1 x ) n + 1 ? 用 n 替換 x ( 1 + 1 n ) n + 1 \LARGE \begin{aligned} &\boxed{(1+\dfrac{1}{x})^n }\xRightarrow{用n+1替換x}\boxed{(1+\dfrac{1}{n+1})^n } \\ &\boxed{(1+\dfrac{1}{x})^{n+1} }\xRightarrow{用n替換x}\boxed{(1+\dfrac{1}{n})^{n+1} } \end{aligned} ?(1+x1?)n?用n+1替換x?(1+n+11?)n?(1+x1?)n+1?用n替換x?(1+n1?)n+1??
那么步驟A變成了
( 1 + 1 n + 1 ) n < ( 1 + 1 x ) x < ( 1 + 1 n ) n + 1 (步驟B) \large (1+\dfrac{1}{n+1})^n \lt (1+\dfrac{1}{x})^x \lt (1+\dfrac{1}{n})^{n+1}\tag{步驟B} (1+n+11?)n<(1+x1?)x<(1+n1?)n+1(步驟B)
左右兩側(cè)如果都是e，通過(guò)拉格朗日夾逼準(zhǔn)則就證明了正實(shí)數(shù)也是e
lim ? n → ∞ ( 1 + 1 n + 1 ) n = lim ? n → ∞ ( 1 + 1 n + 1 ) n + 1 1 + 1 n + 1 = e lim ? n → ∞ ( 1 + 1 n ) n + 1 = lim ? n → ∞ ( 1 + 1 n ) n ( 1 + 1 n ) = e \LARGE \begin{aligned} &\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(1+\dfrac{1}{n+1})^n &&= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\dfrac{(1+\dfrac{1}{n+1})^{n+1}}{1+\dfrac{1}{n+1}}&&&=e\\ &\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(1+\dfrac{1}{n})^{n+1} &&= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}(1+\dfrac{1}{n})^{n} (1+\dfrac{1}{n})&&&=e \end{aligned} ?n→∞lim?(1+n+11?)nn→∞lim?(1+n1?)n+1??=n→∞lim?1+n+11?(1+n+11?)n+1?=n→∞lim?(1+n1?)n(1+n1?)???=e=e?
x趨向于正無(wú)窮得證
e = lim ? x → + ∞ ( 1 + 1 x ) x \LARGE \begin{aligned} \boxed{e=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(1+\dfrac{1}{x})^{x}} \end{aligned} e=x→+∞lim?(1+x1?)x??
設(shè) x = ? ( t + 1 ) , 那么 x → ? ∞ , 則 t → ∞ x=-(t+1),那么x\rightarrow -\infty,則\, t\rightarrow\infty x=?(t+1),那么x→?∞,則t→∞
lim ? x → ? ∞ ( 1 + 1 x ) x = lim ? t → ∞ ( 1 ? 1 t + 1 ) ? ( t + 1 ) = lim ? t → ∞ ( t t + 1 ) ? ( t + 1 ) = lim ? t → ∞ ( t + 1 t ) ( t + 1 ) = lim ? t → ∞ ( 1 + 1 t ) ( t + 1 ) = lim ? t → ∞ ( 1 + 1 t ) t ( 1 + 1 t ) = e \LARGE \begin{aligned} \\ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}(1+\dfrac{1}{x})^x &= \lim\limits_{t\rightarrow \infty}(1-\dfrac{1}{t+1})^{-(t+1)} = \lim\limits_{t\rightarrow \infty}(\dfrac{t}{t+1})^{-(t+1)}\\ &= \lim\limits_{t\rightarrow \infty}(\dfrac{t+1}{t})^{(t+1)}=\lim\limits_{t\rightarrow \infty}(1+\dfrac{1}{t})^{(t+1)}\\ &=\lim\limits_{t\rightarrow \infty}(1+\dfrac{1}{t})^t(1+\dfrac{1}{t})\\ &=e \end{aligned} x→?∞lim?(1+x1?)x?=t→∞lim?(1?t+11?)?(t+1)=t→∞lim?(t+1t?)?(t+1)=t→∞lim?(tt+1?)(t+1)=t→∞lim?(1+t1?)(t+1)=t→∞lim?(1+t1?)t(1+t1?)=e?
至此實(shí)數(shù)公式得證
e = lim ? x → ∞ ( 1 + 1 x ) x \LARGE \begin{aligned} \fcolorbox{#ffae42}{#2E8B57}{\textcolor{White}{$e=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(1+\dfrac{1}{x})^{x}$}} \end{aligned} e=x→∞lim?(1+x1?)x??
為什么要?jiǎng)?chuàng)造 l n ln ln函數(shù)？
l o g a x log_ax loga?x 如果進(jìn)行抽象就是算子[自變量]，算子就是 l o g a [ ] log_a[\quad] loga?[] 那么a代表任意常數(shù)，如果用一個(gè)確定的 e e e似乎曲解了原意， l o g e [ ] e log_e[\quad] \quad e loge?[]e 并不是代表任意常數(shù)。
l o g e [ ] log_e[\quad] loge?[] 也不夠簡(jiǎn)潔， l n ln ln 就制造出來(lái)了，通用功能給起個(gè)名字就是創(chuàng)造。
logarithm 與 nature 各取首字母就成了新的算子 l n [ ] ln[\quad] ln[]