涉及知識點

• 三重積分
• 球面坐標(biāo)系
• 點火公式
• 一些常見積分處理手法

球面坐標(biāo)系定義

球面坐標(biāo)系由方位角$\phi$、仰角$\theta$和距離$r$構(gòu)成

直角坐標(biāo)系$(x,y,z)$到球面坐標(biāo)系的$(r,\phi ,\theta )$的轉(zhuǎn)化規(guī)則如下：

$$?\begin{array}{rlr}x& =& r\sin \phi \cos \theta \\ y& =& r\sin \theta \sin \phi \\ z& =& r\cos \phi \end{array}$$

適用

適用于積分區(qū)域為球或球的部分、錐或錐的部分。

處理方法

按規(guī)則直角坐標(biāo)系的積分式轉(zhuǎn)換成球面坐標(biāo)系就行

$$\underset{\Omega }{?}f(x,y,z)dxdydz=\underset{\Omega }{?}f(r\sin \phi \cos \theta ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \phi )r^2\sin \phi d\theta d\phi dr$$

然后一般按如下順序?qū)懗龇e分式：

$$\int d\theta \int d\phi \int f(r,\theta ,\phi )dr$$

由于“后積先定限”，所以先處理方位角，即下圖中1的軌跡，隨后處理仰角，即下圖中2的軌跡，兩個角取值范圍都是$[0,2\pi ]$

例題

計算三重積分$\underset{\Omega }{?}(x^2+y^2)dv$其中$\Omega$是右半球面$x^2+y^2+z^2=a^2\text{?}(y\ge 0,a>0)$與$xOz$面所圍成的區(qū)域

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【解析】

Ω={0≤r≤a,0≤θ≤π,0≤φ≤π}\Omega = \{0\le r\le a,0\le \theta \le \pi,0\le \varphi \le \pi \}Ω={0≤r≤a,0≤θ≤π,0≤φ≤π}

本題即解如下積分

$$\underset{\Omega }{?}{r}^2{\sin }^2\phi ?r^2\sin \phi drd\theta d\phi$$

即：

$${\int }_0^{\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }d\phi {\int }_0^a{r}^4{\sin }^3\phi dr$$

其中在$dr$時${\sin }^3\phi$是常量，可提出，剩下就是對$r^4$積分，即變?yōu)?#xff1a;

$${\int }_0^{\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }{\sin }^3\phi ?\frac{a^5}{5}d\phi$$

$\frac{a^5}{5}$是常數(shù)可提出，并且這個對$\phi$積分完要對$\theta$積分，可以先變換順序先對$\theta$積分，則原式變?yōu)?#xff1a;

$$\frac{\pi }{5}{a}^3{\int }_0^{\pi }{\sin }^3\phi d\phi$$

對于${\sin }^3\phi$的積分步驟中用到了點火公式，過程如下：

$${\int }_0^{\pi }{\sin }^3\phi d\phi ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^3\phi d\phi +{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\sin }^3\phi d\phi =\frac{2}{3}+{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\sin }^3\phi d\phi$$

對于右側(cè)的積分繼續(xù)進(jìn)行處理，令$\phi =\pi ?t$（好像算是區(qū)間再現(xiàn)公式）

$${\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\sin }^3\phi d\phi ={\int }_{\frac{\pi }{2}}^0{\sin }^3(\pi ?t)d(\pi ?t)={\int }_{\frac{\pi }{2}}^0{\sin }^3(\pi ?t)d(?t)$$

提出負(fù)號，上下限顛倒，則右側(cè)積分式等于：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^3(\pi ?t)dt$$

根據(jù)${\sin }^{3}x$的對稱性，該式子又等于：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{3}tdt=\frac{2}{3}$$

故原式等于

$$\frac{\pi }{5}{a}^3{\int }_0^{\pi }{\sin }^3\phi d\phi =\frac{\pi }{5}{a}^3?(\frac{2}{3}+\frac{2}{3})=\frac{4}{15}\pi a^5$$

即最終結(jié)果