第5章 特征值與特征向量、相似矩陣

(一) 特征值與特征向量

1.定義

設(shè)$A$是$n$階方陣，$\lambda$是一個(gè)數(shù)，若存在$n$維非零列向量$\xi$，使得$$A\xi =\lambda \xi (\xi \ne 0)$$則稱$\lambda$是$A$的特征值，$\xi$是$A$的對(duì)應(yīng)于(屬于)特征值$\lambda$的特征向量。

注：
①只有方陣才有特征值和特征向量
②n階方陣有n個(gè)特征值

$A_{n\times n}\times {\xi }_{n\times 1}=\lambda {\xi }_{n\times 1}$：即矩陣A作用在ξ上的效果，和一個(gè)數(shù)λ作用在ξ上的效果，是劃等號(hào)的。即可用這個(gè)值來(lái)代表這個(gè)矩陣，即λ為矩陣的特征值。

其他概念：
①特征矩陣：λE-A
②特征多項(xiàng)式： $f(\lambda )=|\lambda E?A|$
③特征方程：f(λ)=|λE-A|=0

2.性質(zhì)

1.特征值的性質(zhì)：
(1)特征值之和 = 主對(duì)角線元素之和，特征值之積 = 行列式

(2)上下三角矩陣、對(duì)角陣的主對(duì)角線元素，就是特征值
(3)秩為1的實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值：λ?=tr(A)，λ?=λ?=0

2.特征向量的性質(zhì)：
①k重特征值至多有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量
②不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)
③特征向量的線性組合，依然為特征向量 (只要求整體非零) (特征向量就是非零齊次解，齊次解的線性組合仍為齊次解)

3.求解

(1)具體型矩陣

①求特征值：解$|\lambda E?A|=0$，求出n個(gè)${\lambda }_i$
②求特征向量：將n個(gè)${\lambda }_i$代回齊次線性方程組 $({\lambda }_{i}E?A)x=0$，分別求出屬于每個(gè)${\lambda }_i$的非零解${\xi }_i$，這是基礎(chǔ)解系。則齊次方程組的通解去掉零解為${\lambda }_i$的全部特征向量，即 $k_i{\xi }_i$(k_i≠0) 為對(duì)應(yīng)于${\lambda }_i$的全部特征向量。

試根法、多項(xiàng)式帶余除法：三階多項(xiàng)式分解因式

當(dāng)該3階矩陣的特征方程$|\lambda E?A|=0$ 不好求特征根時(shí)，可全部展開(kāi)為3次多項(xiàng)式，使用試根法先求出一個(gè)根，得到 $(\lambda ?{\lambda }_1)$，再用多項(xiàng)式帶余除法，得到 $(\lambda ?{\lambda }_2)(\lambda ?{\lambda }_3)$

1.試根法
對(duì)于$f(\lambda )=a_k{\lambda }^k+...+a_3{\lambda }^3+a_2{\lambda }^2+a_1\lambda +a_0=0$
①若 $a_0=0$，則 $f(\lambda )=0$ 是根
②若 系數(shù)之和為0，則 $f(\lambda )=1$ 是根
③若 奇次方系數(shù) = 偶次方系數(shù)，則 $f(\lambda )=?1$ 是根
④若 $a_k=1$，各系數(shù)均為整數(shù)，則 根均為整數(shù)，且 根均為 $a_0$的因子

2.多項(xiàng)式帶余除法
缺項(xiàng)要補(bǔ)位

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例題1：入門級(jí)別，求特征值和特征向量

答案：

例題2：真題，不太方便直接求出特征值，可考慮直接展開(kāi)為3次多項(xiàng)式，用試根法+多項(xiàng)式帶余除法

例題3：性質(zhì)證明，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)

證明：

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(2)抽象型矩陣

①表格

已經(jīng)A的特征向量為ξ，則kA、A^-1、A*、A^k、f(A)的特征向量均為ξ
但僅有 kA、A^-1的特征向量為ξ時(shí)，也有A的特征向量為ξ

②$|\lambda E?A|=0$，$(\lambda E?A)\xi =0$
③特征值的性質(zhì)：$|A|={\lambda }_1{\lambda }_2...{\lambda }_n，tr(A)={\lambda }_1+{\lambda }_2+...+{\lambda }_n=a_1+a_2+...+a_n$
④特征向量的性質(zhì)：特征向量的非零線性組合，仍為特征向量?！尽?strong>求特征向量時(shí)，求出基礎(chǔ)解系是ξ后，要加k。最終的(全部的) 特征向量為kξ (k≠0)】

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例題1：

分析：${\lambda }^{?}=\frac{|A|}{\lambda }$

答案：11

例題2：23李林六套卷(六)15. ? 特征值的性質(zhì)：主對(duì)角線元素之和 = 跡 = 特征值之和

分析：A*的主對(duì)角元素為A??、A??、A??

答案：1

例題3：18年13.

分析：特征向量的線性組合也為特征向量

答案：-1

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(二) 相似

相似理論：①A~B ②A~Λ ③應(yīng)用

1.矩陣相似

(1)定義

設(shè)A,B為n階方陣，若存在可逆矩陣P，使得 P^-1AP = B，則稱 矩陣A與B相似，或稱A,B是相似矩陣，記為A~B 。稱P為A到B的相似變換矩陣或過(guò)渡矩陣。

兩矩陣相似：①定義法 ②傳遞法

(2)性質(zhì)

若A、B相似，則 秩、行列式、跡、特征值相同。若可相似對(duì)角化，則相似于同一個(gè)對(duì)角陣。

(1)若$A～B$，則
①行列式相等 $|A|=|B|={\lambda }_1?{\lambda }_2?{\lambda }_3$ ? 且$|\lambda E?A|=|\lambda E?B|$
②跡相等 $tr(A)=tr(B)={\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3$
③$A,B$有相同的特征值 (特征值相同+實(shí)對(duì)稱矩陣 → 相似)
④秩相等 $r(A)=r(B)$ 、$r(\lambda E?A)=r(\lambda E?B)$
⑤若A~B，則A等價(jià)于B，即A可通過(guò)初等變換化為B

這些性質(zhì)只是必要條件，即使都滿足，也無(wú)法證明 A~B

(2)若$A～B，則?\begin{array}{rl}f(A)& ～f(B)，A^m～B^m\\ A^{?1}& ～B^{?1}(可逆)\\ A^{?}& ～B^{?}(可逆)\\ A^T& ～B^T\end{array}$

A~B，若A可逆，則 AB~BA。
證明：∵A可逆 ∴A^-1(AB)A=BA ∴AB~BA

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例題1：15年21.(1)、20年20.(1)

$\because A～B\therefore \{\begin{array}{c}tr(A)=tr(B)\\ |A|=|B|\end{array}$

例題2：16年05.

分析：需要掌握相似性質(zhì)的證明
已知A~B，則若存在可逆矩陣P使得P^-1AP = B。此題額外附加了A、B均為可逆矩陣的條件
①證明：A^-1~B^-1
∵P^-1AP = B
對(duì)兩邊取逆
得 P^-1A^-1P = B^-1，即A^-1~B^-1

②證明：A^T~B^T
∵P^-1AP=B
對(duì)兩邊取轉(zhuǎn)置
得 P^TA^T(P^-1)^T = B^T
即 [(P^T)^-1]^-1A^T(P^T)^-1 = B^T
令Q = (P^T)^-1 = (P^-1)^T，則 Q^-1A^TQ = B^T，則 A^T~B^T

③在此題A、B均為可逆矩陣的前提下，D正確
P^-1AP = B
P^-1A^-1P = B^-1
∴P^-1(A+A^-1)P = B+B^-1

④C，需要A、B均為實(shí)對(duì)稱矩陣

答案：C

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2.相似對(duì)角化

(1)定義

A可相似于對(duì)角陣，稱為A可相似對(duì)角化，即：
對(duì)于n階矩陣A，存在n階可逆矩陣P，使得$P^{?1}AP=\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right)$，其中$\Lambda$為對(duì)角陣，記作 $A～\Lambda$，稱A可相似對(duì)角化。稱$\Lambda$是A的相似標(biāo)準(zhǔn)形。

(2)相似對(duì)角化的條件（n階矩陣A可相似對(duì)角化的條件）

n階矩陣A可相似對(duì)角化的條件
充要條件	①A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量
	②A的每一個(gè)k重特征值，都有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 即 k=n-r(λE-A)，λ是k重根
充分條件	①A為實(shí)對(duì)稱矩陣
	②A有n個(gè)互異的特征值

②$k_i=n?r({\lambda }_{i}E?A)$，${\lambda }_i$是$k_i$重根

注：
1.對(duì)于普通矩陣A：
①特征值不同 (${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$)：特征向量 ${\xi }_1{\xi }_2$一定線性無(wú)關(guān)
②特征值相同 (${\lambda }_1={\lambda }_2$)：特征向量${\xi }_1{\xi }_2$ 可能無(wú)關(guān)，可能相關(guān)
2.A可相似對(duì)角化最本質(zhì)的充要條件：A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

(3)相似對(duì)角化的性質(zhì)

相似的兩矩陣若均可相似對(duì)角化，則可以相似于同一個(gè)對(duì)角矩陣。該對(duì)角矩陣的主對(duì)角線元素即為特征值 λ₁、λ₂、λ₃

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例題0：給定矩陣A，求可逆矩陣P，使得A可相似對(duì)角化，即$P^{?1}AP=\Lambda$

步驟：①求特征值與特征向量 λ、ξ ②驗(yàn)證ξ?,ξ?,ξ?線性無(wú)關(guān) ③令 $P=({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)$，驗(yàn)可逆 ④若P可逆，則有 $P^{?1}AP=\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right)$

例題1：17年6. ? 相似對(duì)角化的條件

分析：
A、B為上三角矩陣，C為對(duì)角矩陣。顯然，A、B、C的特征值均為 2，2，1。
判斷A、B是否與C相似， 即A、B能否相似對(duì)角化。
由相似對(duì)角化的充要條件：2重根,要有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，n-r(λE-A)=3-1=2 ∴r(λE-A)=1

顯然，r(2E-A)=1，而r(2E-B)=2，∴A可以相似對(duì)角化，B不可以

答案：B

例題2：15年21.(2)

求可逆矩陣P，使P^-1AP為對(duì)角矩陣：
只需求出其特征值，以及對(duì)應(yīng)的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量即可

分析：
①求特征值：A~B，∴A和B特征值相同。因?yàn)锽的0更多，特征值更好求，所以用矩陣B來(lái)求特征值。
②求特征向量：分別將3個(gè)特征值λ代入λE-A，化簡(jiǎn)矩陣，得線性無(wú)關(guān)的特征向量

解題步驟：
①|(zhì)λE-B|= |三階行列式| =(λ-1)²(λ-5) ∴B的特征值為1，1，5
∵A~B ∴A的特征值也為1，1，5

②將λ=1代入(λE-A)x=0，即(E-A)x=0
E-A =()→()，得A的屬于特征值λ=1的線性無(wú)關(guān)的特征向量為α₁=( )，α₂=( )

將λ=5代入(λE-A)x=0，即(5E-A)x=0
5E-A=()→()，得A的屬于特征值λ=5的線性無(wú)關(guān)的特征向量為α₃=( )

令P=(α₁,α₂,α₃)，則P^-1AP = ? =()

例題3：19年21.(2)

例題4：20年20.(2)

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3.實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化

1.實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的性質(zhì)、步驟

1.實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)
①實(shí)對(duì)稱矩陣必能相似對(duì)角化
②實(shí)對(duì)稱矩陣必有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量
③實(shí)對(duì)稱矩陣 不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量一定正交

④實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)
⑤非零的冪零矩陣一定不能相似對(duì)角化

2.對(duì)于任一n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，必存在正交矩陣Q，使得$$Q^{?1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda =\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & ...& \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$$
其中${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$為A的n個(gè)實(shí)特征值，矩陣Q的列向量為A的依次對(duì)應(yīng)于${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$的兩兩正交的單位特征向量

3.根據(jù)上述結(jié)論，總結(jié)出正交變換矩陣Q將實(shí)對(duì)稱矩陣A對(duì)角化的步驟為：
(1)求出A的全部特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$
(2)對(duì)每個(gè)特征值${\lambda }_i$，求出其特征向量
(3)將特征向量正交化，再單位化
(4)將這些單位向量作為列向量構(gòu)成正交矩陣Q，從而有$Q^{?1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda =\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & ...& \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$

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例題1：證明：實(shí)對(duì)稱矩陣不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量一定正交

例題2：23李林四(一)6.

分析：

答案：B

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2.正交矩陣、正交變換

(1)正交矩陣Q

1.正交矩陣定義：$Q{Q}^T=Q^{T}Q=E$

兩向量正交：內(nèi)積為0

2.正交矩陣性質(zhì)：(A,B均為n階正交矩陣)
(1) $Q^{?1}=Q^T$
(2) Q的各行向量?jī)蓛烧?#xff0c;各列向量?jī)蓛烧?br /> (3)$|Q|=\pm 1$
(4)也是正交陣
(5)方陣Q是正交矩陣的充要條件：Q的列向量組或行向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組

3.求正交矩陣Q，使得${\mathrm{Q}}^{\mathrm{T}}\mathrm{AQ}$為對(duì)角矩陣：
①求A的特征值：即求A的特征方程|λE-A|=0的全部解
②求A的特征向量：對(duì)求得的每一個(gè)特征值，將其代入$(\lambda E?A)x=0$，求出每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量
③特征向量正交化
④特征向量單位化。然后組成正交矩陣Q

(2)正交變換

1.定義：
若Q為正交矩陣，則線性變換x=Qy稱為正交變換。正交變換屬于相似變換，不改變矩陣的特征值。
對(duì)任一n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，必存在正交矩陣Q 使得A可以相似對(duì)角化，即 $Q^{?1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda =\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & ...& \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$

2.性質(zhì)：
(1)正交變換保持向量的內(nèi)積不變
(2)正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變
(3)正交變換保持向量的夾角不變

只會(huì)將圖形在坐標(biāo)系中旋轉(zhuǎn)，而不會(huì)扭曲圖形

正交變換，既相似又合同

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例題1：11年13. ? 正交變換不改變矩陣的特征值、行列式=特征值之積

分析：

答案：1

例題2：22年21.(2) ? ①二次型的定義 ②求正交矩陣、正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型 ③配方法

答案：

例題3：20年20(2)

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3.反求參數(shù)、反求矩陣A、$A^k$

$P^{?1}AP=\Lambda$，則有：
①$A=P\Lambda P^{?1}$
②$A^k=P{\Lambda }^k{P}^{?1}$
③$f(A)=Pf(A)P^{?1}$

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例題1：

分析：
$f({\lambda }_1)=f(1)=?2，f({\lambda }_2)=f(2)=?2，f({\lambda }_3)=f(3)=?2$

$B=f(A)=Pf(\Lambda )P^{?1}=P\left(\begin{array}{ccc}f({\lambda }_1)& & \\ & f({\lambda }_2)& \\ & & f({\lambda }_3)\end{array}\right)P^{?1}=?2PE{P}^{?1}=?2E$

答案：-2E

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4.兩矩陣是否相似的判別與證明

1.判斷A B 相似：
①定義法：$P^{?1}AP=B$，則$A～B$
②傳遞法：$A～{\Lambda }_1,B～{\Lambda }_2，{\lambda }_A={\lambda }_B$，則${\Lambda }_1={\Lambda }_2$，即$A～\Lambda ～B$

(1)兩個(gè)實(shí)對(duì)稱/可相似對(duì)角化的矩陣相似的充要條件：

兩實(shí)對(duì)稱矩陣/兩可相似對(duì)角化的矩陣 相似 ?? 特征多項(xiàng)式相同 ?? 特征值全部相同

對(duì)于普通矩陣來(lái)說(shuō)，特征多項(xiàng)式相同、特征值相同，只是相似的必要條件。
但對(duì)于兩個(gè) 實(shí)對(duì)稱/可對(duì)角化 的矩陣 來(lái)說(shuō)，特征多項(xiàng)式相同、特征值相同等相似的必要條件，就變成了相似的充分必要條件。

證明：
1.若A、B均可相似對(duì)角化，且A、B特征值相同，則A、B相似于同一個(gè)對(duì)角陣。則$P^{?1}AP=\Lambda ，A～\Lambda P^{?1}BP=\Lambda ，B～\Lambda$
由相似的傳遞性，可知$A～\Lambda ～B，\therefore A～B$

2.若A、B均為實(shí)對(duì)稱矩陣。實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以相似對(duì)角化，再接1的證明

條件由強(qiáng)到弱依次是：
①實(shí)對(duì)稱
②不對(duì)稱但可相似對(duì)角化
③不對(duì)稱，也不可相似對(duì)角化

(2)非實(shí)對(duì)稱矩陣相似

(1)充要條件：若兩矩陣相似，則特征矩陣也相似，則特征矩陣的秩相等。即 $A～B??kE?A～kE?B$
(2)必要條件：A~B → r(A)=r(B)
λE-A ~ λE-B → r(λE-A) = r(λE-B)

證明：

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例題1：18年5.

分析：
顯然，M、A、B、C、D的特征值均為1，1，1。$M～A??kE?M～kE?A\to r(kE?M)=r(kE?A)$
r(E-M)=2，r(E-A)=2，r(E-B)=r(E-C)=r(E-D)=1，∴E-M~E-A

答案：A

例題2：13年06. ? 實(shí)對(duì)稱矩陣相似的充要條件：特征值相同

分析：

答案：B

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第6章 二次型

(一) 二次型的定義與矩陣表示

1.二次型定義

二次型的矩陣表達(dá)式：$f(x)=x^{T}Ax$
即 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=a_{11}{x}_1^2+a_{22}{x}_2^2+a_{33}{x}_3^2+$ $(a_{12}+a_{21})x_1{x}_2+(a_{13}+a_{31})x_1{x}_3+(a_{23}+a_{32})x_2{x}_3$

A為實(shí)對(duì)稱矩陣 ($A=A^T$)，稱為二次型的系數(shù)矩陣。

平方項(xiàng)：$x_i^2$、交叉項(xiàng)(混合項(xiàng))：

2.二次型的矩陣表示：二次型與矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系

1.看到二次型能寫出矩陣，看到矩陣能寫出它的二次型。
2.二次型f的矩陣，就是A，不能帶x。二次型的定義是$f(x)=x^{T}Ax$

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例題1：02年4.

分析：對(duì)二次型進(jìn)行正交變換得標(biāo)準(zhǔn)形，實(shí)際上就是對(duì)矩陣進(jìn)行相似對(duì)角化。正交變換得到的標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)矩陣都是對(duì)角矩陣，標(biāo)準(zhǔn)形系數(shù)都是特征值。

答案：2

例題2：23李林六套卷(五)15. ? 二次型定義、合同的定義及性質(zhì)

答案：

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3.二次型與二次曲面

二次型與二次曲面：直接求特征值，根據(jù)特征值正負(fù)判斷曲面類型

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例題1：16年06. ?二次型與二次曲面

分析：求特征值，看正負(fù)慣性指數(shù)，判斷曲面類型

答案：B

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(二) 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型、規(guī)范型

1.可逆線性變換 X=CY

2.合同

(1)定義

設(shè)A,B為n階方陣，若存在可逆矩陣C，使得 $B=C^{T}AC$，則稱 矩陣A與B合同。記作$A?B$。此時(shí)稱對(duì)應(yīng)的二次型f(x)與g(y)為合同二次型。

(2)性質(zhì)

1.兩是對(duì)稱矩陣A、B合同：
?? A、B 正、負(fù)慣性指數(shù) 相同 【兩合同矩陣的正負(fù)特征值個(gè)數(shù)相同】
?? A、B 正慣性指數(shù)相同 + 秩相同
?? p、q、r均相同

2.對(duì)稱矩陣和不對(duì)稱矩陣，不可能合同

證明：設(shè)A與B合同，A=A^T，B≠B^T。
存在可逆矩陣C，使得 C^TAC=B①。兩邊取轉(zhuǎn)置得，C^TA^TC=B^T
∵A=A^T，得C^TAC=B^T②
∵B≠B^T ∴①與②矛盾。故對(duì)稱矩陣與不對(duì)稱矩陣不合同。

(3)相似與合同

(兩實(shí)對(duì)稱矩陣)相似→合同：(實(shí)對(duì)稱矩陣)相似 ? 特征值相同 ? 正負(fù)特征值個(gè)數(shù)一定相同 ? 合同

兩實(shí)對(duì)稱矩陣：若相似，則一定合同。
對(duì)稱矩陣與非對(duì)稱矩陣，一定不合同。

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例題1：

例題2：07年8.

分析：相似還是合同，只需要看特征值

由|λE-A|=0求得A的特征值為3,3,0。對(duì)角陣B的特征值為1,1,0。可見(jiàn)AB特征值不相同，不相似。但是 正慣性指數(shù)和秩相同，因此AB合同。

答案：B

例題3：01年9.

分析：A、B均為實(shí)對(duì)稱矩陣
由|λE-A|=0求得A的特征值為 λ?=4,λ?=λ?=λ?=0
對(duì)角陣B的特征值也為λ?=4,λ?=λ?=λ?=0
特征值相同，∴A、B相似。
特征值相同，則正負(fù)慣性指數(shù)也必然相同，∴A、B合同

答案：A

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3.標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形

1.標(biāo)準(zhǔn)形：
與對(duì)角矩陣對(duì)應(yīng)的二次型f( 只含有平方項(xiàng))，即為標(biāo)準(zhǔn)形。

2.規(guī)范形：
平方項(xiàng)的系數(shù)為+1或-1

①為什么要化為“標(biāo)準(zhǔn)形”、“規(guī)范形”？
答：標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形只含平方項(xiàng)，二次型對(duì)應(yīng)的二次曲面方便找出最大值。
②如何化為標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形？
對(duì)A做相似對(duì)角化，化為相似的對(duì)角陣，主對(duì)角線元素均為特征值。滿足只含平方項(xiàng)。

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例題1：18年20(2) ? 線性方程組、規(guī)范形

分析：
(1)平方和為0，則每個(gè)括號(hào)內(nèi)都為0
(2)

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(1)正交變換法 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：得對(duì)角陣，系數(shù)為特征值

1.定理
任意給定實(shí)二次型 $f=x^{T}Ax(A^T=A)$，一定存在正交變換 $x=Qy$，使f 化為標(biāo)準(zhǔn)形 $f={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+...+{\lambda }_n{y}_n^2$ 。其中${\lambda }_i(i=1,2,...,n)$為二次型矩陣A的特征值。

2.性質(zhì)
①正交變換相當(dāng)于對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣A做了相似對(duì)角化，得到的平方項(xiàng)系數(shù)即為A的特征值?！径浞椒ǖ玫降南禂?shù)一般不是特征值?！?br /> ②正交變換法只能化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，不能化為規(guī)范形（除非特征值都屬于{1,-1,0}）

3.用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟：
(1)寫出二次型對(duì)應(yīng)的實(shí)對(duì)稱矩陣A
(2)求出A的所有特征值和特征向量
(3)將特征向量正交化、單位化，得η₁,η₂,…,η_n，得正交矩陣Q=(η₁,η₂,…,η_n)
(4)作正交變換 x=Qy，得f的標(biāo)準(zhǔn)形：$f=x^{T}Ax\stackrel{\mathrm{x}=\mathrm{Qy}}{=}(Qy{)}^{T}AQy=y^T(Q^{T}AQ)y=y^T(Q^{?1}AQ)y=y^T\Lambda y={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+...+{\lambda }_n{y}_n^2$
其中正交變換為$x=Qy=(正交矩陣Q)(列向量y)$

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例題0：

例題1：15年6.

分析：

答案：A

例題2：20年20.

分析：
(1)①二次型與矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系 ②正交變換也是相似變換
(2) ∵二階矩陣A、B均有2個(gè)互異的特征值，∴A、B均可相似對(duì)角化
且∵A~B，∴A、B相似于同一個(gè)對(duì)角矩陣

設(shè)A ~ Λ，則存在可逆矩陣P₁使得 $P_1^{?1}A{P}_1=\Lambda$
設(shè)B ~ Λ，則存在可逆矩陣P₂使得 $P_2^{?1}B{P}_2=\Lambda$
$\therefore B=P_2\Lambda P_2^{?1}=P_2{P}_1^{?1}A{P}_1{P}_2^{?1}$
令$P=P_1{P}_2^{?1}$，$\therefore B=P^{?1}AP$

所以，求出P₁、P₂，得$P=P_1{P}_2^{?1}$。對(duì)P進(jìn)行正交化單位化，得正交矩陣Q

例題3：12年21.

分析：秩的性質(zhì)、正交變換的步驟

答案：(1)a = -1

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(2)配方法 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形

配方法：
①將某個(gè)$x_i$的平方項(xiàng)及與其有關(guān)的混合項(xiàng)，一次性配成一個(gè)完全平方。如此，直到全部配成完全平方項(xiàng)。
②n元要n換，缺項(xiàng)要補(bǔ)項(xiàng)(+0倍$x_3$，令$y_3=x_3$)，得到$Y=C^{?1}X$
③反解出C，即 X=CY

若要化二次型為規(guī)范形，只可使用配方法。正交變換法只能化到標(biāo)準(zhǔn)形，正交變換化的標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)是實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值。

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例題1：沒(méi)有平方項(xiàng)，創(chuàng)造平方項(xiàng)

分析：化為規(guī)范形，只能使用配方法

答案：

例題2：14年13. ? 配方法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

分析：初等變換改變特征值，相似變換不改變特征值

答案：[-2,2]

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(三) 正定二次型

1.慣性定理

慣性定理：可逆線性變換，不改變正負(fù)慣性指數(shù)

①正慣性指數(shù)p：正特征值的個(gè)數(shù)
②負(fù)慣性指數(shù)q：負(fù)特征值的個(gè)數(shù)。滿秩時(shí)，負(fù)慣性指數(shù)為奇數(shù)，行列式<0
③$r=p+q$

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例題1：14年13.

分析：
求特征值時(shí)，不可進(jìn)行初等變換(初等變換會(huì)改變特征值)，不要化為行最簡(jiǎn)。此題直接求特征值困難。
滿秩時(shí)，負(fù)慣性指數(shù)為奇數(shù)，行列式<0

答案：[-2,2]

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2.正定二次型、正定矩陣、 二次型正定性的判別

(1)概念

設(shè) $f=x^{T}Ax(A^T=A)$為實(shí)二次型，若對(duì)于任意非零向量$x$，
(1)恒有 x^TAx >0，則稱 f=x^TAx 為正定二次型，稱矩陣A為正定矩陣；
恒有 x^TAx <0，則稱f=x^TAx 為負(fù)定二次型，稱矩陣A為負(fù)定矩陣；
(2)恒有 x^TAx ≥ 0，則稱 f=x^TAx為 半正定二次型，稱矩陣A為半正定矩陣；
恒有 x^TAx ≤ 0，則稱 f=x^TAx為 半負(fù)定二次型，稱矩陣A為半負(fù)定矩陣；
(3)若f=x^TAx的值時(shí)而為正，時(shí)而為負(fù)，則稱 f=x^TAx 為不定二次型

(2)性質(zhì)(充要條件)

矩陣A正定 (抽象型矩陣：先說(shuō)A是實(shí)對(duì)稱，$A^T=A$，再用充要條件)
?? ①A的各階順序主子式 ${\Delta }_i>0$ (從左上角或右下角開(kāi)始都可) 【具體型矩陣】
?? ②A的所有特征值均為正值 ${\lambda }_i>0$ 【具體型、抽象型】
?? ③A的正慣性指數(shù) $p=r=n$ 【配方法求】
?? ④對(duì)任意n維非零列向量 $x$，總有 $f=x^{T}Ax>0$ (正定的定義)
?? ⑤A與單位陣E合同，即 $P^{T}AP=E$
?? ⑥存在可逆矩陣Q，使得 $A=Q^{T}Q$