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🏆人工智能(邏輯回歸算法)

🔎 一、邏輯回歸算法知識(shí)

🍁🍁 01. 梯度下降法（Gradient Descent）

🍁 1.1 什么是梯度下降法？

梯度下降法是最常用的優(yōu)化算法之一。它通過迭代更新模型參數(shù)，沿著損失函數(shù)梯度的反方向逐步進(jìn)行參數(shù)調(diào)整。包括批量梯度下降（Batch Gradient Descent）、隨機(jī)梯度下降（Stochastic Gradient Descent）和小批量梯度下降（Mini-batch Gradient Descent）等變種。

🍁 1.2 梯度下降法的具體步驟和算法公式？

梯度下降法是一種常用的優(yōu)化算法，用于最小化一個(gè)函數(shù)的值。該算法通常用于機(jī)器學(xué)習(xí)中的模型訓(xùn)練過程，例如邏輯回歸、線性回歸等。下面是梯度下降法的具體步驟和算法公式：

算法輸入：學(xué)習(xí)率（learning rate）$\alpha$、迭代次數(shù) $T$、損失函數(shù) $J(\theta )$

1. 初始化參數(shù) $\theta =[{\theta }_1,{\theta }_2,...,{\theta }_n]$，其中 $n$ 表示模型參數(shù)的個(gè)數(shù)。

2. 將迭代次數(shù)設(shè)置為 $t=0$。

3. 如果 $t>T$，則停止迭代，否則繼續(xù)下面的步驟。

4. 計(jì)算損失函數(shù) $J(\theta )$ 對(duì)參數(shù) $\theta$ 的梯度 ${?}_{\theta }J(\theta )$。

5. 根據(jù)學(xué)習(xí)率 $\alpha$，更新參數(shù) $\theta$：
   

6. 將迭代次數(shù) $t$ 加 1。

7. 返回步驟 3。

🍁 1.3 梯度下降法的算法公式實(shí)現(xiàn)？

梯度下降法的算法公式可以很簡(jiǎn)單地實(shí)現(xiàn)。下面是一個(gè)基本的梯度下降算法的偽代碼：

輸入: 學(xué)習(xí)率 $\alpha$，迭代次數(shù) $T$，初始參數(shù) $\theta$

Repeat $T$ 次: 計(jì)算損失函數(shù) $J(\theta )$ 對(duì)參數(shù) $\theta$ 的梯度 ${?}_{\theta }J(\theta )$ 更新參數(shù) $\theta =\theta ?\alpha {?}_{\theta }J(\theta )$

返回參數(shù) $\theta$

以下是一個(gè)簡(jiǎn)化的 Python 實(shí)現(xiàn)代碼示例：

def gradient_descent(X, y, learning_rate, iterations):# 初始化參數(shù)theta = np.zeros(X.shape[1])m = len(y)for i in range(iterations):# 計(jì)算模型預(yù)測(cè)值h = np.dot(X, theta)# 計(jì)算損失函數(shù)對(duì)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)gradient = (1 / m) * np.dot(X.T, (h - y))# 更新參數(shù)theta = theta - learning_rate * gradientreturn theta

在這個(gè)代碼中，X 是特征矩陣，y 是目標(biāo)向量，learning_rate 是學(xué)習(xí)率，iterations 是迭代次數(shù)。通過計(jì)算參數(shù)梯度和更新參數(shù)，最終返回訓(xùn)練得到的參數(shù) $\theta$。

請(qǐng)注意，該代碼示例假設(shè)使用線性回歸進(jìn)行梯度下降，因此對(duì)應(yīng)的損失函數(shù)為均方誤差。對(duì)于不同的模型和損失函數(shù)，需要根據(jù)具體情況進(jìn)行相應(yīng)的修改。

🍁🍁 02. 牛頓法（Newton’s Method）和擬牛頓法（Quasi-Newton Methods）

🍁 2.1 什么是牛頓法和擬牛頓法？

牛頓法和擬牛頓法是一類基于二階導(dǎo)數(shù)信息的優(yōu)化算法。牛頓法使用二階導(dǎo)數(shù)（海森矩陣）來更新參數(shù)，可以更快地收斂，但計(jì)算代價(jià)較高。擬牛頓法通過近似海森矩陣來降低計(jì)算復(fù)雜度，并在一定程度上保持收斂性能。

🍁 2.2 牛頓法和擬牛頓法的具體步驟和算法公式？

牛頓法（Newton’s Method）和擬牛頓法（Quasi-Newton Method）都是一種迭代優(yōu)化算法，用于求解無約束優(yōu)化問題。它們通過逐步逼近目標(biāo)函數(shù)的最小值點(diǎn)，并更新參數(shù)的方法不同。下面分別介紹牛頓法和擬牛頓法的具體步驟和算法公式：

1. 牛頓法： 牛頓法利用目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)（海森矩陣）來逼近目標(biāo)函數(shù)的局部形狀，并通過更新參數(shù)來逼近最小值點(diǎn)。

   輸入：目標(biāo)函數(shù) $f(x)$, 初始點(diǎn) $x_0$，迭代停止準(zhǔn)則（例如，梯度大小或迭代次數(shù)）

   1. 初始化 $x=x_0$，設(shè)置迭代次數(shù) $k=0$。
   2. 計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)（梯度）和二階導(dǎo)數(shù)（海森矩陣）：$g_k=?f(x_k)$，$H_k={?}^{2}f(x_k)$。
   3. 求解方程 $H_k\Delta x=?g_k$，得到搜索方向 $\Delta x$。
   4. 選擇合適的步長(zhǎng) $\alpha$，更新參數(shù)：$x_{k+1}=x_k+\alpha \Delta x$。
   5. 若滿足停止準(zhǔn)則（如梯度的大小是否小于某個(gè)閾值），則停止迭代；否則，令 $k=k+1$，返回步驟 2。

在每次迭代中，牛頓法使用搜索方向和步長(zhǎng)來更新參數(shù)，并在每一步中計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)。相比于梯度下降法，牛頓法可以更快地收斂到最小值附近。

2. 擬牛頓法： 擬牛頓法是對(duì)牛頓法的改進(jìn)，因?yàn)橛?jì)算精確的海森矩陣較為困難，擬牛頓法使用近似的方法來構(gòu)造參數(shù)更新規(guī)則。

   輸入：目標(biāo)函數(shù) $f(x)$，初始點(diǎn) $x_0$，迭代停止準(zhǔn)則，初始的近似海森矩陣 $B_0$。

   1. 初始化 $x=x_0$，設(shè)置迭代次數(shù) $k=0$。
   2. 計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)（梯度）：$g_k=?f(x_k)$。
   3. 求解方程 $B_k\Delta x=?g_k$，得到搜索方向 $\Delta x$。
   4. 選擇合適的步長(zhǎng) $\alpha$，更新參數(shù)：$x_{k+1}=x_k+\alpha \Delta x$。
   5. 計(jì)算新迭代點(diǎn)的梯度 $g_{k+1}=?f(x_{k+1})$。
   6. 使用近似的方法更新近似海森矩陣 $B_k$。
   7. 若滿足停止準(zhǔn)則（如梯度的大小是否小于某個(gè)閾值），則停止迭代；否則，令 $k=k+1$，返回步驟 3。

擬牛頓法中，迭代過程中的海森矩陣 $B_k$ 是通過歷史的一階導(dǎo)數(shù)和參數(shù)更新值來逼近目標(biāo)函數(shù)的海森矩陣。常用的擬牛頓法包括DFP（Davidon-Fletcher-Powell）方法和BFGS（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）方法等。

🍁 2.3 牛頓法和擬牛頓法的算法公式實(shí)現(xiàn)？

牛頓法和擬牛頓法的具體算法公式可以通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到，下面是它們的算法公式實(shí)現(xiàn)：

1. 牛頓法的算法公式：

   輸入: 目標(biāo)函數(shù) $f(x)$，梯度函數(shù) $g(x)$，海森矩陣函數(shù) $H(x)$，初始點(diǎn) $x_0$，迭代停止準(zhǔn)則（如梯度大小或迭代次數(shù)）

   Repeat 直到滿足停止準(zhǔn)則：

   1. 計(jì)算梯度：$g_k=g(x_k)$
   2. 計(jì)算海森矩陣：$H_k=H(x_k)$
   3. 求解線性方程組：$H_k\Delta x=?g_k$，找到搜索方向 $\Delta x$
   4. 選擇合適的步長(zhǎng) $\alpha$，更新參數(shù)：$x_{k+1}=x_k+\alpha \Delta x$

返回參數(shù) $x^{?}$

在實(shí)現(xiàn)中需要注意，解線性方程組的方法可以選擇使用直接求解方法（如LU分解、Cholesky分解）或迭代方法（如共軛梯度法）。

2. 擬牛頓法的算法公式：

   輸入: 目標(biāo)函數(shù) $f(x)$，梯度函數(shù) $g(x)$，初始點(diǎn) $x_0$，迭代停止準(zhǔn)則，初始的近似海森矩陣 $B_0$

   Repeat 直到滿足停止準(zhǔn)則：

   1. 計(jì)算梯度：$g_k=g(x_k)$
   2. 求解線性方程組：$B_k\Delta x=?g_k$，找到搜索方向 $\Delta x$
   3. 選擇合適的步長(zhǎng) $\alpha$，更新參數(shù)：$x_{k+1}=x_k+\alpha \Delta x$
   4. 計(jì)算新迭代點(diǎn)的梯度：$g_{k+1}=g(x_{k+1})$
   5. 更新近似海森矩陣 $B_k$ 的方法（如DFP、BFGS等）

返回參數(shù) $x^{?}$

在實(shí)現(xiàn)擬牛頓法時(shí)，需要選擇合適的近似海森矩陣更新方法，常用的方法有DFP、BFGS、SR1（Symmetric Rank-One）等。

下面是使用Python實(shí)現(xiàn)牛頓法和擬牛頓法的示例代碼：

1. 牛頓法的Python實(shí)現(xiàn)：

   import numpy as npdef newton_method(f, df, d2f, x0, epsilon=1e-6, max_iter=100):x = x0for _ in range(max_iter):g = df(x)H = d2f(x)dx = -np.linalg.solve(H, g)x += dxif np.linalg.norm(dx) < epsilon:breakreturn x# 示例函數(shù)
   def f(x):return x**2 + 2*x + 1# 示例函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)
   def df(x):return 2*x + 2# 示例函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)
   def d2f(x):return 2# 使用牛頓法求解最小值點(diǎn)
   x0 = 0  # 初始點(diǎn)
   x_min = newton_method(f, df, d2f, x0)
   print("最小值點(diǎn):", x_min)
   print("最小值:", f(x_min))
   

2. 擬牛頓法的Python實(shí)現(xiàn)（以BFGS方法為例）：

   import numpy as npdef bfgs_method(f, df, x0, epsilon=1e-6, max_iter=100):n = x0.shape[0]B = np.eye(n)  # 初始的近似海森矩陣x = x0for _ in range(max_iter):g = df(x)dx = -np.linalg.solve(B, g)  # 求解搜索方向alpha = line_search(f, df, x, dx)  # 步長(zhǎng)選擇方法（這里假設(shè)有個(gè)line_search函數(shù)）x_new = x + alpha*dxg_new = df(x_new)s = x_new - xy = g_new - grho = 1 / np.dot(y, s)B = (np.eye(n) - rho * np.outer(s, y)) @ B @ (np.eye(n) - rho * np.outer(y, s)) + rho*np.outer(s, s)x = x_newif np.linalg.norm(alpha*dx) < epsilon:breakreturn x# 示例函數(shù)和一階導(dǎo)函數(shù)同上# 使用BFGS擬牛頓法求解最小值點(diǎn)
   x0 = np.array([0, 0])  # 初始點(diǎn)
   x_min = bfgs_method(f, df, x0)
   print("最小值點(diǎn):", x_min)
   print("最小值:", f(x_min))
   

這兩個(gè)示例代碼是簡(jiǎn)化的實(shí)現(xiàn)，僅適用于特定的目標(biāo)函數(shù)和問題。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體問題進(jìn)行調(diào)整和改進(jìn)，例如適當(dāng)修改迭代停止準(zhǔn)則、步長(zhǎng)選擇方法等。同時(shí)，可以使用更高效的數(shù)值計(jì)算庫(kù)（如NumPy）和線性方程組求解方法（如SciPy庫(kù)的scipy.linalg.solve）來提高計(jì)算效率。

🍁🍁 03. 共軛梯度法（Conjugate Gradient）

🍁 3.1 什么是共軛梯度法？

共軛梯度法是一種迭代方法，它可以更快地收斂于二次型損失函數(shù)。如果邏輯回歸的損失函數(shù)是二次型，共軛梯度法是一種高效且可行的優(yōu)化算法。

🍁 3.2 共軛梯度法的具體步驟和算法公式？

共軛梯度法（Conjugate Gradient Method）是一種用于解決線性方程組的迭代方法，它也可以被用于求解無約束最優(yōu)化問題。這里給出共軛梯度法在求解無約束最優(yōu)化問題時(shí)的步驟和算法公式：

假設(shè)我們要求解無約束最優(yōu)化問題 $\min f(x)$，其中 $f(x)$ 是目標(biāo)函數(shù)。令 $x^{?}$ 是最小值點(diǎn)。

1. 初始化：選擇初始點(diǎn) $x_0$，計(jì)算梯度 $g_0=?f(x_0)$，初始化搜索方向 $d_0=?g_0$，迭代初始點(diǎn)索引 $k=0$。

2. 搜索步長(zhǎng)：選擇一個(gè)合適的步長(zhǎng) ${\alpha }_k$，例如通過線搜索方法（比如Armijo線搜索、Wolfe線搜索等）。

3. 更新參數(shù)：更新參數(shù) $x_{k+1}=x_k+{\alpha }_k{d}_k$。

4. 計(jì)算梯度：計(jì)算新的梯度 $g_{k+1}=?f(x_{k+1})$。

5. 檢查終止準(zhǔn)則：如果滿足終止準(zhǔn)則（如梯度大小小于給定的閾值或達(dá)到最大迭代次數(shù)），則終止迭代，返回最小值點(diǎn) $x^{?}$。否則，繼續(xù)下面的步驟。

6. 計(jì)算步長(zhǎng)系數(shù) ${\beta }_k$：${\beta }_k=\frac{\Vert g_{k+1}{\Vert }^2}{\Vert g_k{\Vert }^2}$。

7. 更新搜索方向：更新搜索方向 $d_{k+1}=?g_{k+1}+{\beta }_k{d}_k$。

8. 增加迭代次數(shù)：$k=k+1$。

9. 轉(zhuǎn)到步驟 2。

在每次迭代中，共軛梯度法利用之前的搜索方向的信息，以更高效地搜索最小值點(diǎn)。在第 $k$ 步迭代中，$d_k$ 是在 $k$-1 步迭代后找到的收斂共軛搜索方向。

需要注意的是，共軛梯度法通常用于求解大規(guī)模線性方程組或凸二次規(guī)劃問題，其中線性方程組的系數(shù)矩陣是對(duì)稱正定的。對(duì)于一般的非線性最優(yōu)化問題，可以采用共軛梯度法的變種（如共軛梯度法和擬牛頓法的結(jié)合）來加速收斂。

請(qǐng)注意，共軛梯度法的具體實(shí)現(xiàn)可能會(huì)因應(yīng)用和問題的不同而有所調(diào)整和改進(jìn)，例如使用合適的線搜索方法和收斂準(zhǔn)則。同時(shí)，可以使用高效的數(shù)值計(jì)算庫(kù)（如NumPy）和線性方程組求解方法（如SciPy庫(kù)的scipy.linalg.solve）來提高計(jì)算效率。

🍁 3.3 共軛梯度法的算法公式實(shí)現(xiàn)？

以下是共軛梯度法的算法公式實(shí)現(xiàn)，以求解線性方程組為例：

輸入: 對(duì)稱正定矩陣 $A$，向量 $b$ 輸出: 近似解 $x$

1. 初始化：選擇初始點(diǎn) $x_0$，計(jì)算初始?xì)埐?$r_0=b?A{x}_0$，初始化搜索方向 $d_0=r_0$，設(shè)定迭代初始點(diǎn)索引 $k=0$。

2. 迭代更新：對(duì)于 $k=0,1,2,\dots$，執(zhí)行以下步驟：

   2.1. 計(jì)算步長(zhǎng)：${\alpha }_k=\frac{r_k^T{r}_k}{d_k^{T}A{d}_k}$。

   2.2. 更新參數(shù)：$x_{k+1}=x_k+{\alpha }_k{d}_k$。

   2.3. 計(jì)算殘差：$r_{k+1}=b?A{x}_{k+1}$。

   2.4. 檢查終止準(zhǔn)則：若滿足終止準(zhǔn)則（如殘差大小小于給定的閾值或達(dá)到最大迭代次數(shù)），則終止迭代，返回近似解 $x$。

   2.5. 計(jì)算步長(zhǎng)系數(shù)：${\beta }_k=\frac{r_{k+1}^T{r}_{k+1}}{r_k^T{r}_k}$。

   2.6. 更新搜索方向：$d_{k+1}=r_{k+1}+{\beta }_k{d}_k$。

   2.7. 增加迭代次數(shù)：$k=k+1$。

   2.8. 轉(zhuǎn)到步驟 2.1。

在每次迭代中，共軛梯度法利用了之前的搜索方向的信息，以更高效地搜索最小值點(diǎn)。在第 $k$ 步迭代中，$d_k$ 是在 $k$-1 步迭代后找到的收斂共軛搜索方向。

需要注意的是，共軛梯度法的實(shí)現(xiàn)還需要考慮一些細(xì)節(jié)，例如選擇合適的初始點(diǎn)、終止準(zhǔn)則的選擇、計(jì)算過程中的數(shù)值穩(wěn)定性等。此外，在實(shí)際應(yīng)用中，通常會(huì)使用數(shù)值計(jì)算庫(kù)提供的高效線性方程組求解方法（如Cholesky分解、共軛梯度法等）來加速計(jì)算過程。

以上提供的是共軛梯度法的基本算法公式實(shí)現(xiàn)，具體的實(shí)現(xiàn)方式可以根據(jù)不同的編程語(yǔ)言和數(shù)值計(jì)算庫(kù)進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整和優(yōu)化。

下面是使用 Python 實(shí)現(xiàn)共軛梯度法求解線性方程組的示例代碼：

import numpy as npdef conjugate_gradient(A, b, x0, max_iter=1000, tol=1e-6):"""使用共軛梯度法求解線性方程組 Ax = b，其中 A 是對(duì)稱正定矩陣。:param A: 對(duì)稱正定矩陣:param b: 右側(cè)向量:param x0: 初始點(diǎn):param max_iter: 最大迭代次數(shù):param tol: 迭代終止的殘差閾值:return: 近似解 x"""x = x0r = b - np.dot(A, x)d = rdelta = np.dot(r, r)for i in range(max_iter):q = np.dot(A, d)alpha = delta / np.dot(d, q)x = x + alpha * dr_new = r - alpha * qdelta_new = np.dot(r_new, r_new)if np.sqrt(delta_new) < tol:breakbeta = delta_new / deltad = r_new + beta * dr = r_newdelta = delta_newreturn x

其中，輸入?yún)?shù) A 和 b 分別為線性方程組的系數(shù)矩陣和右側(cè)向量，x0 為初始點(diǎn)，max_iter 為最大迭代次數(shù)，tol 為迭代終止的殘差閾值。對(duì)于大規(guī)模的線性方程組，可以采用稀疏矩陣進(jìn)行存儲(chǔ)和計(jì)算，以提高計(jì)算效率。

下面給出一個(gè)示例用例：

# 構(gòu)造一個(gè)對(duì)稱正定矩陣 A 和右側(cè)向量 b
n = 100
A = np.random.randn(n, n)
A = np.dot(A.T, A)
b = np.random.randn(n)# 使用初始化為零的向量作為初始點(diǎn)
x0 = np.zeros(n)# 調(diào)用共軛梯度法函數(shù)求解線性方程組 Ax = b
x = conjugate_gradient(A, b, x0)# 輸出近似解 x
print("近似解 x =", x)

注意，對(duì)于一般的非線性最優(yōu)化問題，需要結(jié)合共軛梯度法和其他優(yōu)化方法，例如牛頓法、擬牛頓法、共軛梯度法和擬牛頓法的結(jié)合等。此外，在實(shí)際應(yīng)用中需要對(duì)算法進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化，例如選擇合適的終止條件、計(jì)算過程中的數(shù)值穩(wěn)定性等。

🍁🍁 04. 改進(jìn)的隨機(jī)梯度下降法（Improved Stochastic Gradient Descent）

🍁 4.1 什么是改進(jìn)的隨機(jī)梯度下降法？

針對(duì)隨機(jī)梯度下降法的一些缺點(diǎn)，如收斂速度較慢、參數(shù)更新不穩(wěn)定等問題，已經(jīng)提出了很多改進(jìn)的隨機(jī)梯度下降算法。例如，AdaGrad、RMSprop、Adam等算法可以自適應(yīng)地調(diào)整學(xué)習(xí)率。

🍁🍁 05. Adagrad（自適應(yīng)梯度算法）

🍁 5.1 什么是 Adagrad？

Adagrad是一種自適應(yīng)學(xué)習(xí)率算法，它根據(jù)參數(shù)的歷史梯度進(jìn)行自適應(yīng)的學(xué)習(xí)率調(diào)整。它對(duì)于稀疏特征的處理效果較好，能夠有效地進(jìn)行模型訓(xùn)練。

🍁 5.2 RMSprop（均方根傳播）的具體步驟和算法公式？

RMSProp（均方根傳播）是一種基于梯度的自適應(yīng)學(xué)習(xí)率算法，它可以根據(jù)每個(gè)參數(shù)的歷史梯度大小來自適應(yīng)地調(diào)整學(xué)習(xí)率。以下是RMSProp算法的具體步驟和算法公式：

輸入：學(xué)習(xí)率 $\alpha$，初始參數(shù) $w$，目標(biāo)函數(shù)的梯度函數(shù) $?f(w)$，衰減因子 $\rho$，常數(shù) $?$。 輸出：參數(shù)的最優(yōu)解 $w^{?}$。

1. 初始化：初始參數(shù) $w$，初始平方梯度和 $r=0$，迭代次數(shù) $t=0$。

2. 迭代更新：對(duì)于每個(gè)迭代 $t$，執(zhí)行以下步驟：

   2.1. 計(jì)算當(dāng)前迭代的梯度 ${?}_t=?f(w_t)$。

   2.2. 計(jì)算平方梯度和的衰減平均：$r=\rho r+(1?\rho ){?}_t\odot {?}_t$ （$\odot$ 表示按元素相乘）。

   2.3. 調(diào)整學(xué)習(xí)率：${\eta }_t=\frac{\alpha }{\sqrt{r+?}}$。

   2.4. 更新參數(shù)：$w_{t+1}=w_t?{\eta }_t\odot {?}_t$。

   2.5. 增加迭代次數(shù)：$t=t+1$。

3. 終止準(zhǔn)則：根據(jù)預(yù)設(shè)的終止準(zhǔn)則（如達(dá)到最大迭代次數(shù)或梯度變化小于閾值）決定是否停止迭代。若終止迭代，則輸出最優(yōu)解 $w^{?}$；否則，返回步驟 2。

RMSProp算法與Adagrad算法都是自適應(yīng)學(xué)習(xí)率算法，但是RMSProp算法引入了衰減平均的概念，可以緩解學(xué)習(xí)率急劇下降的問題。在RMSProp算法中，參數(shù)的梯度平方和會(huì)通過衰減平均進(jìn)行平滑，以消除梯度信息的噪聲影響，同時(shí)計(jì)算出的學(xué)習(xí)率也會(huì)相應(yīng)地變得更加平滑和穩(wěn)定，提高了優(yōu)化的性能。

需要注意的是，RMSProp算法和Adagrad算法類似，都需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)求解，并根據(jù)求解結(jié)果生成梯度函數(shù)。在實(shí)踐應(yīng)用中，還需要對(duì)RMSProp算法進(jìn)行調(diào)參和優(yōu)化，例如選擇合適的學(xué)習(xí)率和衰減因子，常數(shù) $?$ 的取值，初始參數(shù)，終止條件等，以提高算法的效率和魯棒性。

🍁 5.3 RMSprop（均方根傳播）的算法公式實(shí)現(xiàn)？

下面是使用 Python 實(shí)現(xiàn) RMSProp 算法的示例代碼：

import numpy as npdef rmsprop(grad_func, init_theta, alpha=0.01, rho=0.9, eps=1e-8, max_iters=1000, tol=1e-6):"""使用 RMSProp 算法求解無約束優(yōu)化問題：min f(theta)，其中 grad_func 是目標(biāo)函數(shù)的梯度函數(shù)。:param grad_func: 目標(biāo)函數(shù)的梯度函數(shù):param init_theta: 參數(shù)的初始值:param alpha: 初始學(xué)習(xí)率:param rho: 平方梯度和的衰減因子:param eps: 避免除零錯(cuò)誤的小常數(shù):param max_iters: 最大迭代次數(shù):param tol: 最小收斂差:return: 近似最優(yōu)解 theta"""theta = init_thetagrad_squared_sum = np.zeros_like(init_theta)for i in range(max_iters):grad = grad_func(theta)grad_squared_sum = rho * grad_squared_sum + (1 - rho) * grad ** 2learning_rate = alpha / (np.sqrt(grad_squared_sum) + eps)theta_new = theta - learning_rate * gradif np.linalg.norm(theta_new - theta) < tol:breaktheta = theta_newreturn theta

其中，輸入?yún)?shù) grad_func 是目標(biāo)函數(shù)的梯度函數(shù)（形如 grad_func(theta)，返回 theta 點(diǎn)處的梯度），init_theta 是參數(shù)的初始值，alpha 是初始學(xué)習(xí)率，rho 是平方梯度和的衰減因子，eps 是避免除零錯(cuò)誤的小常數(shù)，max_iters 是最大迭代次數(shù)，tol 是最小收斂差。輸出參數(shù)為近似最優(yōu)解 theta。

需要注意的是，目標(biāo)函數(shù)的梯度函數(shù)應(yīng)滿足一定的可導(dǎo)性和連續(xù)性條件，否則求解過程可能出現(xiàn)問題。此外，在實(shí)踐應(yīng)用中，需要對(duì) RMSProp 算法進(jìn)行調(diào)參和優(yōu)化，例如選擇合適的學(xué)習(xí)率、衰減因子、常數(shù) $?$ 的取值、初始參數(shù)、終止條件等，以提高算法的表現(xiàn)和效率。

🍁🍁 06. RMSprop（均方根傳播）

🍁 6.1 什么是RMSprop？

RMSprop是一種自適應(yīng)學(xué)習(xí)率算法，它通過利用參數(shù)梯度的移動(dòng)平均值來調(diào)整學(xué)習(xí)率。它可以自動(dòng)調(diào)整學(xué)習(xí)率的大小，從而在不同特征上進(jìn)行合理的更新。

🍁 6.2 Adam（自適應(yīng)矩估計(jì)）的具體步驟和算法公式？

Adam（自適應(yīng)矩估計(jì)）是一種基于梯度的自適應(yīng)學(xué)習(xí)率算法，它采用梯度的一階矩估計(jì)和二階矩估計(jì)自適應(yīng)地調(diào)整學(xué)習(xí)率。以下是Adam算法的具體步驟和算法公式：

輸入：學(xué)習(xí)率 $\alpha$，初始參數(shù) $w$，目標(biāo)函數(shù)的梯度函數(shù) $?f(w)$，一階矩估計(jì)的衰減因子 ${\beta }_1$，二階矩估計(jì)的衰減因子 ${\beta }_2$，常數(shù) $?$。 輸出：參數(shù)的最優(yōu)解 $w^{?}$。

1. 初始化：初始參數(shù) $w$，一階矩估計(jì) ${\mathbf{m}}_0=0$，二階矩估計(jì) ${\mathbf{v}}_0=0$，迭代次數(shù) $t=0$。

2. 迭代更新：對(duì)于每個(gè)迭代 $t$，執(zhí)行以下步驟：

   2.1. 計(jì)算當(dāng)前迭代的梯度 ${?}_t=?f(w_t)$。

   2.2. 更新一階矩估計(jì)：${\mathbf{m}}_t={\beta }_1{\mathbf{m}}_{t?1}+(1?{\beta }_1){?}_t$。

   2.3. 更新二階矩估計(jì)：${\mathbf{v}}_t={\beta }_2{\mathbf{v}}_{t?1}+(1?{\beta }_2){?}_t^2$。

   2.4. 校正一階矩估計(jì)的偏差：${\hat{\mathbf{m}}}_t=\frac{{\mathbf{m}}_t}{1?{\beta }_1^t}$。

   2.5. 校正二階矩估計(jì)的偏差：${\hat{\mathbf{v}}}_t=\frac{{\mathbf{v}}_t}{1?{\beta }_2^t}$。

   2.6. 計(jì)算學(xué)習(xí)率調(diào)整量：$\Delta w_t=\frac{\alpha {\hat{\mathbf{m}}}_t}{\sqrt{{\hat{\mathbf{v}}}_t}+?}$。

   2.7. 更新參數(shù)：$w_{t+1}=w_t?\Delta w_t$。

   2.8. 增加迭代次數(shù)：$t=t+1$。

3. 終止準(zhǔn)則：根據(jù)預(yù)設(shè)的終止準(zhǔn)則（如達(dá)到最大迭代次數(shù)或梯度變化小于閾值）決定是否停止迭代。若終止迭代，則輸出最優(yōu)解 $w^{?}$；否則，返回步驟 2。

Adam算法的核心思想在于利用梯度的一階矩估計(jì)和二階矩估計(jì)對(duì)學(xué)習(xí)率進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，同時(shí)通過校正偏差來提高精度。具體來說，Adam算法使用一階矩估計(jì) ${\mathbf{m}}_t$ 來估計(jì)梯度的均值，用二階矩估計(jì) ${\mathbf{v}}_t$ 來估計(jì)梯度的方差（即均方差） ，然后結(jié)合這兩個(gè)估計(jì)量來自適應(yīng)地調(diào)整學(xué)習(xí)率。在實(shí)踐應(yīng)用中，還需要對(duì)Adam算法進(jìn)行調(diào)參和優(yōu)化，例如選擇合適的衰減因子 ${\beta }_1$ 和 ${\beta }_2$，常數(shù) $?$ 的取值，初始參數(shù)，終止條件等，以提高算法的效率和魯棒性。

需要注意的是，和RMSProp算法、Adagrad算法一樣，Adam算法都需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)求解，并根據(jù)求解

🍁 6.3 Adam（自適應(yīng)矩估計(jì)）的算法公式實(shí)現(xiàn)？

下面是Adam算法的具體實(shí)現(xiàn)，包括算法公式和偽代碼：

算法公式：

偽代碼：

輸入：學(xué)習(xí)率 alpha, 初始參數(shù) w, 目標(biāo)函數(shù)的梯度函數(shù) grad_f(w), 一階矩估計(jì)的衰減因子 beta1, 二階矩估計(jì)的衰減因子 beta2, 常數(shù) epsilon
輸出：參數(shù)的最優(yōu)解 w_star初始化：初始參數(shù) w, 一階矩估計(jì) m_0 = 0, 二階矩估計(jì) v_0 = 0, 迭代次數(shù) t = 0while 沒有達(dá)到終止準(zhǔn)則 dot = t + 1當(dāng)前迭代的梯度 grad_t = grad_f(w)更新一階矩估計(jì)：m_t = beta1 * m_{t-1} + (1 - beta1) * grad_t更新二階矩估計(jì)：v_t = beta2 * v_{t-1} + (1 - beta2) * grad_t^2校正一階矩估計(jì)的偏差：m_hat_t = m_t / (1 - beta1^t)校正二階矩估計(jì)的偏差：v_hat_t = v_t / (1 - beta2^t)計(jì)算學(xué)習(xí)率調(diào)整量：delta_w_t = alpha * m_hat_t / (sqrt(v_hat_t) + epsilon)更新參數(shù)：w = w - delta_w_t返回參數(shù)的最優(yōu)解 w_star

希望這個(gè)實(shí)現(xiàn)可以幫助到你！請(qǐng)注意，這只是一個(gè)粗略的偽代碼示例，具體的實(shí)現(xiàn)可能會(huì)因編程語(yǔ)言和應(yīng)用環(huán)境而有所不同。在實(shí)際使用Adam算法時(shí)，還需要進(jìn)行一些調(diào)參和優(yōu)化來提高算法的性能和收斂速度。

🍁🍁 07. Adam（自適應(yīng)矩估計(jì)）

🍁 7.1 什么是 Adam？

Adam是一種融合了Momentum和RMSprop的自適應(yīng)學(xué)習(xí)率算法。Adam算法具有較好的適應(yīng)性和魯棒性，能夠在訓(xùn)練過程中自動(dòng)調(diào)整學(xué)習(xí)率和動(dòng)量。

🍁 7.2 Adam的具體步驟和算法公式？

Adam是一種自適應(yīng)學(xué)習(xí)率方法，可以用于優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重，在深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域被廣泛使用。它結(jié)合了RMSProp和Momentum的優(yōu)點(diǎn)，能夠在不同維度自適應(yīng)地調(diào)整學(xué)習(xí)率，并對(duì)梯度的歷史信息進(jìn)行加權(quán)平均，從而更加準(zhǔn)確地更新模型參數(shù)。Adam是一種基于梯度的優(yōu)化算法，可以通過計(jì)算梯度的一階矩和二階矩估計(jì)來更新模型的參數(shù)，其具體步驟如下：

1. 初始化參數(shù)：學(xué)習(xí)率 $\alpha$，動(dòng)量參數(shù) ${\beta }_1$，二階動(dòng)量衰減率 ${\beta }_2$，初始一階矩和二階矩 $m_0$ 和 $v_0$，一般情況下，$m_0$，$v_0$ 初始化為0。
2. 在每次迭代中，通過反向傳播計(jì)算損失函數(shù)的梯度 $g_t$。
3. 計(jì)算梯度的一階矩 $m_t$ 和二階矩 $v_t$：
   $m_t={\beta }_1{m}_{t?1}+(1?{\beta }_1)g_t$
   $v_t={\beta }_2{v}_{t?1}+(1?{\beta }_2)g_t^2$
4. 對(duì)一階和二階矩進(jìn)行偏差修正，從而減輕因初始化而引入的偏差：
   ${\hat{m}}_t=\frac{m_t}{1?{\beta }_1^t}$
   ${\hat{v}}_t=\frac{v_t}{1?{\beta }_2^t}$
5. 使用修正后的 $m_t$ 和 $v_t$，以及超參數(shù) $\alpha$ 和 $?$ 更新參數(shù)：
   $\Delta {\theta }_t=?\frac{\alpha }{\sqrt{{\hat{v}}_t}+?}{\hat{m}}_t$
   ${\theta }_t={\theta }_{t?1}+\Delta {\theta }_t$

其中，$t$ 表示迭代的次數(shù)，$\theta$ 是需要進(jìn)行優(yōu)化的參數(shù)，$\alpha$ 是學(xué)習(xí)率，${\beta }_1$ 和 ${\beta }_2$ 是動(dòng)量系數(shù)，$?$ 是一個(gè)很小的數(shù)，以防分母過小。

需要注意的是，Adam算法的偏差校正非常重要，可以提高算法的性能和收斂速度。在Adam算法中，${\hat{m}}_t$ 和 ${\hat{v}}_t$ 是在更新權(quán)重時(shí)對(duì)動(dòng)量和縮放系數(shù)進(jìn)行校正的項(xiàng)。

上述公式中 $\Delta \theta$ 表示需要更新的參數(shù)變化量，即實(shí)現(xiàn)時(shí)需要將 $\theta$ 增加 $\Delta \theta$ 才能更新參數(shù)。

下面是Adam算法的數(shù)學(xué)公式表示：

• 初始化：

  $m_0=0$
  $v_0=0$
  ${\beta }_1=0.9$
  ${\beta }_2=0.999$
  $\alpha =0.001$
  $?=10^{?8}$

• 對(duì)于 t = 1, 2, …，執(zhí)行以下更新：

  計(jì)算損失函數(shù)關(guān)于模型參數(shù)的梯度：$g_t={?}_{\theta }J({\theta }_{t?1})$
  更新梯度一階矩估計(jì)：$m_t={\beta }_1{m}_{t?1}+(1?{\beta }_1)g_t$
  更新梯度二階矩估計(jì)：$v_t={\beta }_2{v}_{t?1}+(1?{\beta }_2)g_t^2$
  偏差校正后的一階矩估計(jì)：${\hat{m}}_t=\frac{m_t}{1?{\beta }_1^t}$
  偏差校正后的二階矩估計(jì)

🍁 7.3 Adam的算法公式實(shí)現(xiàn)？

以下是使用Python實(shí)現(xiàn)Adam算法的代碼示例：

import numpy as npdef adam_optimizer(grad, m, v, beta1, beta2, alpha, epsilon, t):# 更新梯度一階矩估計(jì)m = beta1 * m + (1 - beta1) * grad# 更新梯度二階矩估計(jì)v = beta2 * v + (1 - beta2) * (grad ** 2)# 偏差校正后的一階矩估計(jì)m_hat = m / (1 - beta1**t)# 偏差校正后的二階矩估計(jì)v_hat = v / (1 - beta2**t)# 更新參數(shù)param = - alpha * m_hat / (np.sqrt(v_hat) + epsilon)return param, m, v# 初始化參數(shù)
alpha = 0.001  # 學(xué)習(xí)率
beta1 = 0.9  # 一階矩估計(jì)衰減率
beta2 = 0.999  # 二階矩估計(jì)衰減率
epsilon = 1e-8  # 平滑項(xiàng)
t = 0  # 迭代次數(shù)
m = np.zeros_like(params)  # 梯度一階矩估計(jì)
v = np.zeros_like(params)  # 梯度二階矩估計(jì)# 在每個(gè)迭代步驟中使用Adam算法更新參數(shù)
while stopping_criteria:t += 1# 計(jì)算損失函數(shù)關(guān)于模型參數(shù)的梯度grad = compute_gradient(params)# 更新參數(shù)param_update, m, v = adam_optimizer(grad, m, v, beta1, beta2, alpha, epsilon, t)params += param_update

上述代碼中，grad表示損失函數(shù)對(duì)模型參數(shù)的梯度，m表示梯度一階矩估計(jì)，v表示梯度二階矩估計(jì)，beta1表示一階矩估計(jì)衰減率，beta2表示二階矩估計(jì)衰減率，alpha表示學(xué)習(xí)率，epsilon表示平滑項(xiàng)，t表示當(dāng)前的迭代次數(shù)，param表示更新后的模型參數(shù)。

需要注意的是，根據(jù)具體的優(yōu)化問題，可能需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來調(diào)整學(xué)習(xí)率和各個(gè)衰減率的取值，以獲得更好的優(yōu)化性能。

🍁🍁 08. LBFGS（Limited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）

🍁 8.1 什么是 LBFGS？

LBFGS是一種擬牛頓法的變種，它使用有限內(nèi)存來近似計(jì)算海森矩陣的逆。LBFGS方法在邏輯回歸中通常用于處理大規(guī)模數(shù)據(jù)集。

🍁 8.2 LBFGS（Limited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）的具體步驟和算法公式？

LBFGS（Limited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）是一種常用的無約束優(yōu)化算法，包含近似Hessian矩陣的求解過程。下面是LBFGS的具體步驟和算法公式：

步驟：

1. 初始化參數(shù)：選擇初始參數(shù) $x_0$、初始Hessian估計(jì) $H_0$、初始步長(zhǎng) ${\alpha }_0$，設(shè)定迭代次數(shù)上限等。

2. 進(jìn)入迭代循環(huán)：

   • 計(jì)算梯度：計(jì)算當(dāng)前參數(shù)點(diǎn)處的梯度 $g_k=?f(x_k)$。

   • 更新搜索方向：根據(jù)BFGS公式更新搜索方向 $d_k=?H_k?g_k$。

   • 線搜索：在搜索方向上尋找合適的步長(zhǎng) ${\alpha }_k$，滿足強(qiáng)Wolfe條件或Armijo條件。

   • 更新參數(shù)和梯度差：計(jì)算參數(shù)的更新量 $\delta x_k={\alpha }_k?d_k$，更新參數(shù) $x_{k+1}=x_k+\delta x_k$。

   • 計(jì)算梯度差：計(jì)算參數(shù)的梯度差 $\delta g_k=?f(x_{k+1})??f(x_k)$。

   • 更新Hessian估計(jì)：根據(jù)LBFGS公式更新Hessian估計(jì) $H_{k+1}=H_k+\frac{\delta x_k\delta x_k^{?}}{\delta x_k^{?}\delta g_k}?\frac{H_k\delta g_k\delta g_k^{?}{H}_k}{\delta g_k^{?}{H}_k\delta g_k}$。

   • 如果滿足終止準(zhǔn)則（如梯度收斂），則停止迭代。否則，返回第二步。

算法公式：

LBFGS算法通過維護(hù)Hessian矩陣的近似來實(shí)現(xiàn)無約束優(yōu)化的迭代過程，并利用近似Hessian矩陣來計(jì)算搜索方向。這種方法在大規(guī)模優(yōu)化問題中非常高效，因?yàn)樗恍枰@式地存儲(chǔ)和計(jì)算完整的Hessian矩陣。同時(shí)，LBFGS算法還具有全局收斂性和幾何收斂速度等優(yōu)點(diǎn)。

🍁 8.3 LBFGS（Limited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）的算法公式實(shí)現(xiàn)？

LBFGS算法的具體實(shí)現(xiàn)依賴于編程語(yǔ)言和庫(kù)的實(shí)現(xiàn)，下面是一份Python實(shí)現(xiàn)的參考代碼。這里假設(shè)優(yōu)化目標(biāo)是凸函數(shù)，并使用Wolfe準(zhǔn)則進(jìn)行線搜索。

import numpy as np
from scipy.optimize import line_searchdef lbfgs(fun, grad, x0, max_iter=500, m=10, eps=1e-5):# 初始化參數(shù)x = x0f, g = fun(x), grad(x)H = np.eye(len(x))s_list = []y_list = []alpha_list = []g_norm = np.linalg.norm(g)for k in range(max_iter):# 終止準(zhǔn)則：如果梯度小于閾值，終止迭代if g_norm < eps:print(f'LBFGS converges in {k} iterations')break# 計(jì)算搜索方向d = -np.linalg.solve(H, g)# 線搜索alpha = line_search(fun, grad, x, d, g, f, c1=1e-4, c2=0.9)alpha_list.append(alpha[0])x = x + alpha[0] * d# 計(jì)算參數(shù)和梯度差f_new, g_new = fun(x), grad(x)s, y = x - s_list[-m], g_new - y_list[-m]rho = 1 / (y @ s)s_list.append(x)y_list.append(g_new)alpha_list.append(alpha[0])# 更新Hessian估計(jì)H_s = H @ s.reshape(-1, 1)H = H - rho * H_s @ y.reshape(1, -1) + rho * (s @ H_s) * np.outer(y, y)g = g_newg_norm = np.linalg.norm(g)# 保持s和y列表長(zhǎng)度為mif len(s_list) > m:s_list.pop(0)y_list.pop(0)return x, f_new

值得注意的是，這份代碼使用了以下幾個(gè)重要的優(yōu)化技巧：

• 利用線性代數(shù)庫(kù)Numpy中的np.linalg.solve()函數(shù)求解線性方程組，而不是通過矩陣求逆和矩陣乘法的方式計(jì)算搜索方向；
• 使用Wolfe準(zhǔn)則進(jìn)行線搜索，確保每次搜索都朝著下降的方向；
• 維護(hù)s、y和alpha列表的長(zhǎng)度為m，避免列表過長(zhǎng)導(dǎo)致內(nèi)存消耗過大。

當(dāng)然，LBFGS算法的實(shí)現(xiàn)還可以進(jìn)一步優(yōu)化，比如實(shí)現(xiàn)各種不同的線搜索準(zhǔn)則、動(dòng)態(tài)調(diào)整m等方法來提升求解的速度和精度。

🍁🍁 09. Adamax

🍁 9.1 什么是 Adamax ？

這是Adam算法的一種變體，它使用L∞范數(shù)替代了Adam中的L2范數(shù)，在一些具有稀疏梯度的問題上，Adamax的表現(xiàn)比Adam更好。

🍁 9.2 Adamax的具體步驟和算法公式？

Adamax是一種用于優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)學(xué)習(xí)率算法，它在Adam算法的基礎(chǔ)上，將二階動(dòng)量指數(shù)衰減率 β2替換為無窮范數(shù)動(dòng)量指數(shù)衰減率，即使得 v 變?yōu)?L2 范數(shù)的衰減率 β2 和 L∞ 范數(shù)的衰減率 β∞ 之間的最大值。它不僅克服了Adam在高維優(yōu)化中的性能下降問題，還可以顯著提高高維優(yōu)化的性能。

Adamax算法的具體步驟如下：

1. 初始化學(xué)習(xí)率α、一階動(dòng)量指數(shù)衰減率β1、β∞和一個(gè)很小的數(shù)ε來增強(qiáng)數(shù)值的穩(wěn)定性。初始化一階矩估計(jì) m 和 v。
2. 在每個(gè)迭代中，計(jì)算梯度g，然后使用如下公式更新m和v：
   m = β1 * m + (1 - β1) * g
   v = max(β∞ * v, abs(g))
3. 在更新m后對(duì)其進(jìn)行偏差糾正和清零，并計(jì)算出校正后的m和v:
   mt = m / (1 - β1^t)
   vt = v
4. 使用Adamax更新參數(shù)θ:
   θ = θ - (α / (1 - β1^t)) * mt / (vt + ε)

公式中，t是迭代次數(shù)，Θ是模型參數(shù)。

下面是Adamax算法的數(shù)學(xué)公式表示：

• 初始化：

  m_0 = 0 # 初始化一階矩估計(jì)為0
  v_0 = 0 # 初始化v為0
  β1 = 0.9 # 一階動(dòng)量指數(shù)衰減率
  β∞ = 0.999 # 無窮范數(shù)動(dòng)量指數(shù)衰減率
  α = 0.001 # 初始學(xué)習(xí)率
  ε = 10e-8 # 用于數(shù)值穩(wěn)定性，通常設(shè)置為很小的值

• 對(duì)于 t = 1, 2, …，執(zhí)行以下更新：

  計(jì)算梯度：g_t = ▽_θ L(Θ_t)
  更新一階矩估計(jì)：m_t = β1 * m_t-1 + (1 - β1) * g_t
  更新二階動(dòng)量估計(jì)：v_t = max(β∞ * v_t-1, |g_t|)
  根據(jù)偏差校正計(jì)算校正后的一階矩估計(jì)：m_hat_t = m_t / (1 - β1^t)
  計(jì)算更新參數(shù)：Θ_t+1 = Θ_t - α / (1 - β1^t) * m_hat_t / (v_t + ε)

Adamax算法與Adam算法非常相似，但將二階動(dòng)量 v 替換為無窮范數(shù)動(dòng)量 v∞，并不需要其偏差校正。公式中，|g|表示給定梯度g的所有元素的絕對(duì)值的向量。

🍁 9.3 Nadam的算法公式實(shí)現(xiàn)？

以下是使用Python實(shí)現(xiàn)Adamax算法的代碼示例：

import numpy as npdef adamax_optimizer(grad, m, v, beta1, beta_inf, alpha, epsilon, t):# 更新梯度一階矩估計(jì)m = beta1 * m + (1 - beta1) * grad# 更新梯度二階動(dòng)量指數(shù)v = np.maximum(beta_inf * v, np.abs(grad))# 偏差校正后的一階矩估計(jì)m_hat = m / (1 - beta1**t)# 更新參數(shù)param = - alpha * m_hat / (v + epsilon)return param, m, v# 初始化參數(shù)
alpha = 0.001  # 學(xué)習(xí)率
beta1 = 0.9  # 一階動(dòng)量指數(shù)衰減率
beta_inf = 0.999  # 無窮范數(shù)動(dòng)量指數(shù)衰減率
epsilon = 1e-8  # 平滑項(xiàng)
t = 0  # 迭代次數(shù)
m = np.zeros_like(params)  # 梯度一階矩估計(jì)
v = np.zeros_like(params)  # 無窮范數(shù)動(dòng)量指數(shù)# 在每個(gè)迭代步驟中使用Adamax算法更新參數(shù)
while stopping_criteria:t += 1# 計(jì)算損失函數(shù)關(guān)于模型參數(shù)的梯度grad = compute_gradient(params)# 更新參數(shù)param_update, m, v = adamax_optimizer(grad, m, v, beta1, beta_inf, alpha, epsilon, t)params += param_update

上述代碼中，grad表示損失函數(shù)對(duì)模型參數(shù)的梯度，m表示梯度一階矩估計(jì)，v表示無窮范數(shù)動(dòng)量指數(shù)，beta1表示一階動(dòng)量指數(shù)衰減率，beta_inf表示無窮范數(shù)動(dòng)量指數(shù)衰減率，alpha表示學(xué)習(xí)率，epsilon表示平滑項(xiàng)，t表示當(dāng)前的迭代次數(shù)，param表示更新后的模型參數(shù)。

需要注意的是，根據(jù)具體的優(yōu)化問題，可能需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來調(diào)整學(xué)習(xí)率和各個(gè)衰減率的取值，以獲得更好的優(yōu)化性能。

🍁🍁 10. Nadam

🍁 10.1 什么是**Nadam ？

這是一種帶無約束方法的Nesterov動(dòng)量Adam算法，可以非常有效地控制"m"-方向和"v"-方向的耦合，并且通?？梢蕴岣逜dam的收斂速度。

🍁 10.2 Nadam的具體步驟和算法公式？

Nadam是一種結(jié)合了Nesterov動(dòng)量和Adam優(yōu)化算法特性的優(yōu)化算法。下面是Nadam的具體步驟和算法公式：

1. 初始化參數(shù)：

   • 學(xué)習(xí)率 α
   • 手動(dòng)動(dòng)量參數(shù) β1（建議為0.9）
   • 二階動(dòng)量指數(shù)衰減率 β2（建議為0.999）
   • 平滑項(xiàng) ε（用于數(shù)值穩(wěn)定性，通常設(shè)置為很小的值，比如1e-8）

2. 初始化變量：

   • 梯度的一階矩估計(jì) m （初始化為0向量）
   • 梯度的二階矩估計(jì) v （初始化為0向量）
   • 過去動(dòng)量方向的指數(shù)衰減平均 mt （初始化為0向量）
   • 過去二階動(dòng)量方向的指數(shù)衰減平均 vt （初始化為0向量）

3. 在每次迭代中，執(zhí)行以下步驟：

   • 計(jì)算梯度 g，根據(jù)當(dāng)前參數(shù)計(jì)算損失函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
   • 更新一階矩估計(jì)：m = β1 * m + (1 - β1) * g
   • 更新二階矩估計(jì)：v = β2 * v + (1 - β2) * g2
   • 偏差校正：m_hat = m / (1 - β1^t)，v_hat = v / (1 - β2^t)
   • 計(jì)算過去動(dòng)量方向和過去二階動(dòng)量方向的指數(shù)加權(quán)平均： mt = β1 * mt + (1 - β1) * g vt = β2 * vt + (1 - β2) * g2
   • 計(jì)算校正項(xiàng)：delta = (1 - β1^t) * mt / ((1 - β1^t) * vt + ε)
   • 根據(jù)Nesterov動(dòng)量公式，更新參數(shù)： θ = θ - α * (β1 * delta + (1 - β1) * g) / sqrt((1 - β2^t) * v + ε)

其中，t表示當(dāng)前的迭代次數(shù)，θ表示模型參數(shù)。

通過結(jié)合Nesterov動(dòng)量和Adam算法的思想，Nadam相對(duì)于傳統(tǒng)的Adam算法可以更好地控制"m"-方向和"v"-方向的耦合，從而提高收斂速度和優(yōu)化性能。

🍁 10.3 Nadam的算法公式實(shí)現(xiàn)？

Nadam算法的具體實(shí)現(xiàn)公式如下：

首先，初始化參數(shù)：

• 學(xué)習(xí)率 α
• 手動(dòng)動(dòng)量參數(shù) β1（建議為0.9）
• 二階動(dòng)量指數(shù)衰減率 β2（建議為0.999）
• 平滑項(xiàng) ε（用于數(shù)值穩(wěn)定性，通常設(shè)置為很小的值，比如1e-8）

然后，初始化變量：

• 梯度的一階矩估計(jì) m （初始化為0向量）
• 梯度的二階矩估計(jì) v （初始化為0向量）
• 過去動(dòng)量方向的指數(shù)衰減平均 mt （初始化為0向量）
• 過去二階動(dòng)量方向的指數(shù)衰減平均 vt （初始化為0向量）

在每次迭代中，執(zhí)行以下步驟：

1. 計(jì)算梯度 g，根據(jù)當(dāng)前參數(shù)計(jì)算損失函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
2. 更新一階矩估計(jì)：m = β1 * m + (1 - β1) * g
3. 更新二階矩估計(jì)：v = β2 * v + (1 - β2) * g2
4. 偏差校正：m_hat = m / (1 - β1^t)，v_hat = v / (1 - β2^t)
5. 計(jì)算過去動(dòng)量方向和過去二階動(dòng)量方向的指數(shù)加權(quán)平均： mt = β1 * mt + (1 - β1) * g vt = β2 * vt + (1 - β2) * g2
6. 計(jì)算校正項(xiàng)：delta = (1 - β1^t) * mt / sqrt((1 - β2^t) * v + ε)
7. 根據(jù)Nesterov動(dòng)量公式，更新參數(shù)： θ = θ - α * (β1 * delta + (1 - β1) * g) / (sqrt(v_hat) + ε)

其中，t表示當(dāng)前的迭代次數(shù)，θ表示模型參數(shù)。

這些步驟按照順序執(zhí)行，直到達(dá)到預(yù)定的迭代次數(shù)或達(dá)到其他停止條件。通過這種方式，Nadam算法在優(yōu)化過程中會(huì)自適應(yīng)地調(diào)整學(xué)習(xí)率和動(dòng)量，并結(jié)合Nesterov動(dòng)量的思想來加速收斂并獲得更好的優(yōu)化性能。

以下是用Python實(shí)現(xiàn)Nadam算法的代碼示例：

import numpy as npdef nadam_optimizer(grad, m, v, mt, vt, alpha, beta1, beta2, epsilon, t):# 更新梯度一階矩估計(jì)m = beta1 * m + (1 - beta1) * grad# 更新梯度二階矩估計(jì)v = beta2 * v + (1 - beta2) * grad**2# 計(jì)算偏差校正后的一階和二階矩估計(jì)m_hat = m / (1 - beta1**t)v_hat = v / (1 - beta2**t)# 更新過去動(dòng)量方向和過去二階動(dòng)量方向的指數(shù)加權(quán)平均mt = beta1 * mt + (1 - beta1) * gradvt = beta2 * vt + (1 - beta2) * grad**2# 計(jì)算校正項(xiàng)deltadelta = (1 - beta1**t) * mt / (np.sqrt((1 - beta2**t) * v_hat) + epsilon)# 計(jì)算更新后的參數(shù)param = - alpha * (beta1 * delta + (1 - beta1) * grad) / (np.sqrt(v_hat) + epsilon)return param, m, v, mt, vt

其中，grad表示損失函數(shù)對(duì)模型參數(shù)的梯度，m和v是梯度一階和二階矩估計(jì)，mt和vt是過去動(dòng)量方向和過去二階動(dòng)量方向的指數(shù)加權(quán)平均，alpha是學(xué)習(xí)率，beta1和beta2是手動(dòng)動(dòng)量參數(shù)和二階動(dòng)量指數(shù)衰減率，epsilon是平滑項(xiàng)，t表示當(dāng)前的迭代次數(shù)，param表示更新后的模型參數(shù)。這個(gè)函數(shù)將計(jì)算和返回Nadam算法中的參數(shù)更新公式。

使用上述代碼源自的Nadam函數(shù)，只需要首先初始化所需的變量，然后按照迭代次數(shù)循環(huán)調(diào)用Nadam函數(shù)即可。

# 初始化參數(shù)
alpha = 0.001
beta1 = 0.9
beta2 = 0.999
epsilon = 1e-8
t = 0
m = np.zeros_like(params)
v = np.zeros_like(params)
mt = np.zeros_like(params)
vt = np.zeros_like(params)# 在每個(gè)迭代步驟中使用Nadam算法更新參數(shù)
while stopping_criteria:t += 1# 計(jì)算損失函數(shù)關(guān)于模型參數(shù)的梯度grad = compute_gradient(params)# 更新參數(shù)param_update, m, v, mt, vt = nadam_optimizer(grad, m, v, mt, vt, alpha, beta1, beta2, epsilon, t)params += param_update

在使用Nadam的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化過程中，我們要根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的具體情況來具體設(shè)置這些參數(shù)的值，以充分發(fā)揮Nadam算法的特性。