動態(tài)規(guī)劃：01背包理論基礎(chǔ)

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01背包問題
二維數(shù)組解法：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;void slove(int M, int N){vector<vector<int>> dp(M, vector<int> (N + 1));vector<int> weight(M), value(M);for (int i = 0; i < M; i++){cin >> weight[i];}for (int i = 0; i < M; i++){cin >> value[i];}for (int j = 0; j <= N; j++){if (j >= weight[0]) dp[0][j] = value[0];}for (int i = 1; i < M; i++){for (int j = 0; j <= N;  j++){if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[M - 1][N] << endl;
}int main(){int M, N;cin >> M >> N;slove(M, N);return 0;
}

思路：就是按代碼隨想錄上的那張二維表來看，更新 j 重量下的背包能放0 - i 中多少最大價值的物品；然后一行一行的更新，更新到新物品時，要么就是在 j 重量下放不下，也就是

if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];

要么能放下就取 原來 或者 新更新物品后背包中的最大值，也就是

else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

其中，

dp[i - 1][j]

代表不放入 i 物品

dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]

代表在 j 重量下先空出weight[i]這么大的空間，然后再放如 i 物品，它可能是本來就有這么大空間，也可能是把其它一些物品拿出去后再放入的 i 物品。

一維（滾動數(shù)組）數(shù)組解法：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;void slove(int M, int N){vector<int> dp(N + 1, 0);vector<int> weight(M), value(M);for (int i = 0; i < M; i++){cin >> weight[i];}for (int i = 0; i < M; i++){cin >> value[i];}for (int i = 0; i < M; i++){for (int j = N; j >= weight[i]; j--){dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[N] << endl;
}int main(){int M, N;cin >> M >> N;slove(M, N);return 0;
}

一維數(shù)組相比二維數(shù)組解法就是將每次更新都放在一行上，而且省去了初始化，所以會節(jié)省很多空間，這點在后面 leetcode 上的那題會看到比較。另外要注意在遍歷重量時是倒序遍歷的：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

正序遍歷會引起重復(fù)，而二維數(shù)組不會重復(fù)是因為每行都用的是上一行的值來更新的。
第一天理解的時候迷迷糊糊，第二天沒事時有想了一會突然茅塞頓開了哈哈哈。

416. 分割等和子集

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思路：01背包應(yīng)用問題，留足背包的容量，也就是最大總和的一半值加一，如果更新到最后在半值重量的背包中能正好裝滿，就說明數(shù)組可以對半分。
二維數(shù)組解法：

class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = 0;for (int i : nums){sum += i;}if (sum % 2 == 1) return false;int target = sum / 2;vector<vector<int>> dp(nums.size(), vector<int> (10001));for (int j = 0; j < 10001; j++){if (j >= nums[0]) dp[0][j] = nums[0];}for (int i = 1; i < nums.size(); i++){for (int j = 0; j < 10001; j++){if (j < nums[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - nums[i]] + nums[i]);}}if (dp[nums.size() - 1][target] == target) return true;return false;}
};

一維（滾動）數(shù)組解法：

class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = 0;for (int i : nums){sum += i;}if (sum % 2 == 1) return false;int target = sum / 2;vector<vector<int>> dp(nums.size(), vector<int> (10001));for (int j = 0; j < 10001; j++){if (j >= nums[0]) dp[0][j] = nums[0];}for (int i = 1; i < nums.size(); i++){for (int j = 0; j < 10001; j++){if (j < nums[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - nums[i]] + nums[i]);}}if (dp[nums.size() - 1][target] == target) return true;return false;}
};

這里可以看出兩種解法的時間空間對比，顯然二維解法有著更大的時間和空間復(fù)雜度。因此以后的應(yīng)用問題盡可能一維（滾動）數(shù)組解法。

第四十二天補卡，這兩天回學(xué)校吃組飯，又耽誤了兩天，后面那頓飯你不行不去吃了；大體知識能串聯(lián)起來了，今天開始擼項目背八股，哪不會學(xué)哪了，單學(xué)效率太低了，爭取能在春節(jié)后找到個實習(xí)，加油！！！