一、強化學習問題

??強化學習的基本任務是通過智能體與環(huán)境的交互學習一個策略，使得智能體能夠在不同的狀態(tài)下做出最優(yōu)的動作，以最大化累積獎勵。這種學習過程涉及到智能體根據(jù)當前狀態(tài)選擇動作，環(huán)境根據(jù)智能體的動作轉(zhuǎn)移狀態(tài)，并提供即時獎勵的循環(huán)過程。

1、交互的對象

??在強化學習中，有兩個可以進行交互的對象：智能體和環(huán)境

• 智能體（Agent）：能感知外部環(huán)境的狀態(tài)（State）和獲得的獎勵（Reward），并做出決策（Action）。智能體的決策和學習功能使其能夠根據(jù)狀態(tài)選擇不同的動作，學習通過獲得的獎勵來調(diào)整策略。

• 環(huán)境（Environment）：是智能體外部的所有事物，對智能體的動作做出響應，改變狀態(tài)，并反饋相應的獎勵。

2、強化學習的基本要素

??強化學習涉及到智能體與環(huán)境的交互，其基本要素包括狀態(tài)、動作、策略、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率和即時獎勵。

• 狀態(tài)（State）：對環(huán)境的描述，可能是離散或連續(xù)的。

• 動作（Action）：智能體的行為，也可以是離散或連續(xù)的。

• 策略（Policy）：智能體根據(jù)當前狀態(tài)選擇動作的概率分布。

• 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率（State Transition Probability）：在給定狀態(tài)和動作的情況下，環(huán)境轉(zhuǎn)移到下一個狀態(tài)的概率。

• 即時獎勵（Immediate Reward）：智能體在執(zhí)行動作后，環(huán)境反饋的獎勵。

3、策略（Policy）

??策略（Policy）就是智能體如何根據(jù)環(huán)境狀態(tài) 𝑠 來決定下一步的動作 𝑎（智能體在特定狀態(tài)下選擇動作的規(guī)則或分布）。

• 確定性策略（Deterministic Policy） 直接指定智能體應該采取的具體動作
• 隨機性策略（Stochastic Policy） 則考慮了動作的概率分布，增加了對不同動作的探索。

上述概念可詳細參照：【深度學習】強化學習（一）強化學習定義

4、馬爾可夫決策過程

??為了簡化描述，將智能體與環(huán)境的交互看作離散的時間序列。智能體從感知到的初始環(huán)境 $s_0$ 開始，然后決定做一個相應的動作 $a_0$，環(huán)境相應地發(fā)生改變到新的狀態(tài)$s_1$，并反饋給智能體一個即時獎勵$r_1$，然后智能體又根據(jù)狀態(tài)$s_1$做一個動作$a_1$，環(huán)境相應改變?yōu)?span id="vxwlu0yf4" class="katex--inline">$s_2$，并反饋獎勵$r_2$。這樣的交互可以一直進行下去： $$s_0,a_0,s_1,r_1,a_1,\dots ,s_{t?1},r_{t?1},a_{t?1},s_t,r_t,\dots ,$$其中 $r_t=r(s_{t?1},a_{t?1},s_t)$ 是第 $t$ 時刻的即時獎勵。這個交互過程可以被視為一個馬爾可夫決策過程（Markov Decision Process，MDP）。

關(guān)于馬爾可夫決策過程可詳細參照：【深度學習】強化學習（二）馬爾可夫決策過程

5、強化學習的目標函數(shù)

??強化學習的目標是通過學習到的策略 ${\pi }_{\theta }(a|s)$ 來最大化期望回報（Expected Return），即希望智能體執(zhí)行一系列動作以獲取盡可能多的平均回報。

• 總回報：對于一次交互過程的軌跡，總回報是累積獎勵的和。
• 折扣回報：引入折扣率，考慮未來獎勵的權(quán)重。

1. 總回報（Return）

??總回報（Total Return）指智能體與環(huán)境一次交互過程中所累積的獎勵。給定一個策略 $\pi (a|s)$，智能體與環(huán)境的交互過程可以通過軌跡 $\tau$ 來表示，而這個軌跡的總回報 $G(\tau )$ 可以通過累積獎勵的方式進行計算。

• 總回報 $G(\tau )$ 定義：
  $$G(\tau )=\sum _{t=0}^{T?1}{r}_{t+1}$$其中 $T$ 表示交互的總時長，$r_{t+1}$ 表示在時刻 $t+1$ 獲得的即時獎勵。

• 總回報也可以通過獎勵函數(shù)的形式表示：
  $$G(\tau )=\sum _{t=0}^{T?1}r(s_t,a_t,s_{t+1})$$
  這里，$r(s_t,a_t,s_{t+1})$ 表示在狀態(tài) $s_t$ 下執(zhí)行動作 $a_t$ 后轉(zhuǎn)移到狀態(tài) $s_{t+1}$ 所獲得的獎勵。

2. 折扣回報（Discounted Return）

a. 折扣率

??對于存在終止狀態(tài)（Terminal State）的任務，當智能體到達終止狀態(tài)時，交互過程結(jié)束，這一輪的交互稱為一個回合（Episode）或試驗（Trial）。一般強化學習任務都是回合式任務（Episodic Task），如下棋、玩游戲等。
??然而，對于一些持續(xù)式任務（Continuing Task），其中不存在終止狀態(tài)，智能體的交互可以無限進行下去，即 $T=\infty$。在這種情況下，總回報可能會無窮大。為了解決這個問題，引入了折扣率 $\gamma$。

b. 折扣回報的定義

• 折扣回報（Discounted Return）定義：
  $$G(\tau )=\sum _{t=0}^{T?1}{\gamma }^t{r}_{t+1}$$
  其中 $\gamma$ 是折扣率，$\gamma \in [0,1]$。折扣率的引入可以看作是對未來獎勵的一種降權(quán)，即智能體更加關(guān)注即時獎勵和近期獎勵，而對于遠期獎勵的關(guān)注逐漸減弱。

  • 當 $\gamma$ 接近于 1 時，更加關(guān)注長期回報；
  • 當 $\gamma$ 接近于 0 時，更加關(guān)注短期回報。

• 折扣回報的定義在數(shù)學上確保了總回報的有限性，同時在實際應用中使得智能體更好地平衡長期和短期回報。

3. 目標函數(shù)

??強化學習的目標是通過學習一個良好的策略來使智能體在與環(huán)境的交互中獲得盡可能多的平均回報。

a. 目標函數(shù)的定義

強化學習的目標函數(shù) $J(\theta )$ 定義如下：
$$J(\theta )={\mathbb{E}}_{\tau ～p_{\theta }(\tau )}[G(\tau )]={\mathbb{E}}_{\tau ～p_{\theta }(\tau )}\left[\sum _{t=0}^{T?1}{\gamma }^t{r}_{t+1}\right]$$其中，$\theta$ 表示策略函數(shù)的參數(shù)，$\tau$ 表示強化學習的軌跡。

• 這個目標函數(shù)表達的是在策略 ${\pi }_{\theta }$ 下，智能體與環(huán)境交互得到的總回報的期望。（這個期望是對所有可能的軌跡進行的）

2. 目標函數(shù)的解釋

• $J(\theta )$ 可以看作是在策略 ${\pi }_{\theta }$ 下執(zhí)行動作序列的期望回報。
• 引入折扣率 $\gamma$ 是為了在計算期望回報時對未來獎勵進行折扣，使得智能體更加關(guān)注即時獎勵和近期獎勵。
• 目標函數(shù) $J(\theta )$ 的最大化等價于尋找最優(yōu)的策略參數(shù) $\theta$，使得智能體在與環(huán)境的交互中獲得最大的長期回報。

3. 優(yōu)化目標

??強化學習的優(yōu)化目標就是通過調(diào)整策略函數(shù)的參數(shù) $\theta$，使得目標函數(shù) $J(\theta )$ 達到最大值。這個優(yōu)化問題通常通過梯度上升等優(yōu)化方法來解決，其中梯度由策略梯度定理給出。

4、智能體走迷宮

a. 問題

??讓一個智能體通過強化學習來學習走迷宮，如果智能體走出迷宮，獎勵為 +1，其他狀態(tài)獎勵為 0．智能體的目標是最大化期望回報．當折扣率 𝛾 = 1 時，智能體是否能學會走迷宮的技巧？如何改進？

b. 解析

??走迷宮任務存在終止狀態(tài)（即走出迷宮），為回合式任務，智能體的交互不會無限地進行下去。由題意，當智能體出迷宮時有獎勵+1，其他時刻獎勵均為0。若折扣率為1，當該策略無法走出迷宮時，不會取得回報；當該策略可以走出迷宮，雖然達到了目標，但或許存在“繞遠”的情況，即此時不一定為最優(yōu)策略。

• 改進
  • 嘗試不同的折扣率：嘗試使用較小的折扣率（0~1之間），以降低遠期回報的權(quán)重，更強調(diào)即時獎勵，加速學習過程。由目標函數(shù)可知，折扣率在0-1之間時，T越小則J越優(yōu)，即智能體會學習到一個盡量快地走到終點的策略。
  • 限制軌跡長度： 智能體會存在n個能夠走出迷宮的軌跡(原地徘徊、來回繞路……)，若考慮限制每個軌跡的長度，則可防止智能體無限地試驗，更有可能學到直接走出迷宮的策略。
  • 設(shè)置更復雜的獎勵結(jié)構(gòu)：嘗試在迷宮中的每走一步都給予負獎勵-1，在成功走出迷宮時給予大的正獎勵100，以鼓勵智能體更快地找到走出迷宮的策略。
  • 使用深度強化學習：例如深度 Q 網(wǎng)絡（DQN）或者深度確定性策略梯度（DDPG），這些方法通常可以更好地處理復雜的狀態(tài)空間和動作空間，提高學習的效率。